Μια κίνηση και η μαθηματική επεξεργασία της.

Δυο μαθητές, ο Αντώνης και ο Βασίλης στέκονται στις δυο απέναντι πλευρές ενός ευθύγραμμου δρόμου. Σε μια στιγμή περνάει εμπρός τους ένα αυτοκίνητο το οποίο κινείται με σταθερή ταχύτητα 18km/h. Μετά από 4s, το αυτοκίνητο αυξάνει με σταθερό ρυθμό την ταχύτητά του στην τιμή 72km/h μέσα σε 8s, με την οποία συνεχίζει να κινείται μέχρι να φτάσει σε ένα δένδρο. Τα αυτοκίνητο φτάνει στο δέντρο σε 15s μετά τη στιγμή που πέρασε από τα παιδιά. Ζητάμε από τους μαθητές, θεωρώντας ο καθένας την προς τα δεξιά του κατεύθυνση ως θετική, να βρουν την απόσταση του δένδρου και να κάνουν τις γραφικές παραστάσεις της ταχύτητας και της μετατόπισης του αυτοκινήτου, μέχρι τη στιγμή που φτάνει στο δένδρο.

Απάντηση:

ή

Μια κίνηση και η μαθηματική επεξεργασία της.

Προσπαθώντας να ανεβάσουμε το σώμα.

Ένα σώμα ηρεμεί  στο έδαφος, όπου θεωρείται μηδενική η δυναμική του ενέργεια. Τη στιγμή t=0 δέχεται την επίδραση μιας κατακόρυφης δύναμης μέσω ενός νήματος, με αποτέλεσμα να κινηθεί προς τα πάνω και η ταχύτητά του να μεταβάλλεται όπως στο διάγραμμα.

Αν στο χρονικό διάστημα 0-2s το μέτρο της ασκούμενης δύναμης ήταν F₁=4,2Ν, να βρεθούν:

 i) Η επιτάχυνση του σώματος από 0-2s, καθώς και το ύψος που βρίσκεται το σώμα τη στιγμή t₁=2s.

ii) Η μάζα του σώματος.

iii) Η μηχανική ενέργεια του σώματος τη στιγμή t₂=8s και να συγκριθεί με το έργο της δύναμης από 0-8s.

iv) Να γίνει η γραφική παράσταση της δυναμικής ενέργειας του σώματος σε συνάρτηση με το χρόνο, μέχρι τη στιγμή t₂=8s.

Απάντηση:

ή

Προσπαθώντας να ανεβάσουμε το σώμα.

Ποιο είναι το σύστημα;

Στο διπλανό σχήμα το σώμα Α, μάζας Μ=2m, συγκρατείται σε ορισμένο ύψος, δεμένο στο άκρο τεντωμένου νήματος, σταθερού μήκους, το οποίο διέρχεται από μια αβαρή τροχαλία, στο άλλο άκρο του οποίου έχει προσδεθεί ένα σώμα Β μάζας m.

Σε μια στιγμή αφήνουμε ελεύθερα τα σώματα να κινηθούν.

i) Να συμπληρωθεί ο παρακάτω πίνακας με τις τιμές της κινητικής και δυναμικής ενέργειας κάθε σώματος, καθώς και της μηχανικής ενέργειας.

Θέση	ΚΑ	UΑ	ΚΒ	UB	Ε
Αρχική	0	150J	0	0
(1)			12J
(2)				75J

ii) Η μηχανική ενέργεια διατηρείται για το σύστημα:

α) Σώμα Α-Γη,     β) Σώμα Α- σώμα Β   γ) Σώμα Α- σώμα Β – Γη.

Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας.

Τριβές και αντιστάσεις από τον αέρα δεν υπάρχουν, ενώ g=10m/s².

Απάντηση:

ή

Ποιο είναι το σύστημα;

Η άνοδος και η κάθοδος…

Ένα σώμα μάζας 20kg ηρεμεί σε οριζόντιο επίπεδο. Δένουμε το σώμα με ένα νήμα και σε μια στιγμή t=0, τραβώντας το νήμα, του ασκούμε μια κατακόρυφη δύναμη μέτρου F=120Ν, μέχρι τη στιγμή t₁=4s. Τη στιγμή αυτή αυξάνουμε το μέτρο της  δύναμης στην τιμή 225Ν, μέχρι τη στιγμή t₂=12s, όπου αφήνουμε το νήμα και το σώμα κινείται πλέον ελεύθερα.

i)  Να βρεθούν οι δυνάμεις που ασκούνται στο σώμα τη στιγμή t΄=2s.

ii) Ποιο είναι το μέγιστο ύψος από το έδαφος, στο οποίο θα φτάσει το σώμα;

iii) Ποια χρονική στιγμή και με ποια ταχύτητα, το σώμα επιστρέφει στο έδαφος;

iv) Να υπολογιστούν η μέγιστη δυναμική και η μέγιστη κινητική ενέργεια του σώματος, στη διάρκεια της κίνησής του και να συγκριθούν με την ενέργεια που προσφέρθηκε στο σώμα, μέσω του έργου της ασκούμενης δύναμης F.

Δίνεται ότι η δυναμική ενέργεια του σώματος είναι μηδενική στην αρχική του θέση και g=10m/s².

Απάντηση:

ή

Η άνοδος και η κάθοδος…

Αν μειωθεί το μέτρο της δύναμης…

Ένα σώμα μάζας 10kg, σύρεται σε οριζόντιο επίπεδο με την επίδραση μιας οριζόντιας δύναμης F=40Ν, κινούμενο με σταθερή ταχύτητα υ=8m/s.

Σε μια στιγμή t₀=0, μειώνουμε το μέτρο της δύναμης στην τιμή F₁=30Ν.

Να βρεθούν:

i) Η επιτάχυνση του σώματος τις χρονικές στιγμές:      

α) t₁= 2s       β) t₂=10s

ii) Το έργο της δύναμης από 0-10s.

Απάντηση:

ή

Αν μειωθεί το μέτρο της δύναμης…

Από το διάγραμμα της ταχύτητας…

Ένα σώμα ηρεμεί σε οριζόντιο επίπεδο. Σε μια στιγμή τ=0, δέχεται την επίδραση μιας οριζόντιας δύναμη F, μέχρι τη στιγμή t₁ =5s. Στο διάγραμμα δίνεται η ταχύτητα του σώματος σε συνάρτηση με το χρόνο, μέχρι τη στιγμή t₂=7s όπου σταματά.

i) Να υπολογιστεί ο συντελεστής τριβής ολίσθησης μεταξύ σώματος και επιπέδου.

ii) Αν το σώμα έχει μάζα m=2kg, να βρεθούν:

α) Το μέτρο της ασκούμενης δύναμης F.

β) Το έργο της δύναμης F.

Δίνεται g=10m/s².

Απάντηση:

 ή

Από το διάγραμμα της ταχύτητας…

Μια ισορροπία και μια επιτάχυνση συστήματος.

Τα σώματα Α και Β ηρεμούν δεμένα στα άκρα αβαρούς νήματος, το οποίο διέρχεται από μια αβαρή τροχαλία, ενώ το Β έχει δεθεί μέσω 2^ου νήματος με ελατήριο, το οποίο έχει μήκος 30cm, όπως στο σχήμα. Το Α σώμα έχει μάζα m₁=6kg, το ελατήριο έχει φυσικό μήκος 20cm και τα δυο σώματα, βρίσκονται το ένα δίπλα στο άλλο. Σε μια στιγμή κόβουμε το νήμα που συνδέει το Β σώμα με το ελατήριο, οπότε μετά από 1 δευτερόλεπτο τα σώματα απέχουν μεταξύ τους κατακόρυφη απόσταση d=2m.

i) Να υπολογιστεί η μάζα του σώματος Β.

ii) Να βρεθεί η σταθερά Κ του ελατηρίου.

Δίνεται g=10m/s².

Απάντηση:

ή

Μια ισορροπία και μια επιτάχυνση συστήματος.

Η Δυναμική του ενός Κινητική του άλλου;

Στο παραπάνω σχήμα τα σώματα ισορροπούν ενώ το Β, κρέμεται στο άκρο αβαρούς νήματος, το οποίο περνά από μια τροχαλία αμελητέας μάζας. Ο συντελεστής τριβής μεταξύ του σώματος Α και του τραπεζιού είναι μ=0,2, ενώ δίνονται οι μάζες m₁=4kg, m₂=1kg και m₃=2kg των σωμάτων Α, Β και Γ αντίστοιχα.

i) Να υπολογιστούν τα μέτρα όλων των δυνάμεων που ασκούνται στο σώμα Α.

ii) Σε μια στιγμή απομακρύνουμε το σώμα Γ, οπότε το σώμα Β επιταχύνεται προς τα κάτω. Να βρεθεί η επιτάχυνσή του, καθώς και η τάση του νήματος, που συνδέει τα δυο σώματα.

iii) Τι ποσοστό της μείωσης της δυναμικής ενέργειας του σώματος Β, που μετατρέπεται σε κινητική ενέργεια του σώματος Α;

Δίνεται g=10m/s².

Απάντηση

ή

Η Δυναμική του ενός Κινητική του άλλου;

Απόσταση δύο αυτοκινήτων.

Σε έναν ευθύγραμμο δρόμο κινούνται δύο αυτοκίνητα με σταθερές ταχύτητες και σε μια στιγμή, έστω t=0, περνάνε ταυτόχρονα από το ίδιο σημείο. Το Α αυτοκίνητο, διανύει 40 μέτρα σε κάθε δευτερόλεπτο και μετά από 10s προηγείται κατά 200m του Β.

i) Να βρεθούν οι ταχύτητες υ₁ και υ₂ των δύο αυτοκινήτων Α και Β αντίστοιχα.

Μόλις η απόσταση των αυτοκινήτων φτάσει τα 600m, ο οδηγός του Α, αρχίζει να φρενάρει προσδίδοντας στο όχημά του σταθερή επιβράδυνση, με αποτέλεσμα να σταματήσει αφού διανύσει απόσταση 400m, στη διάρκεια της επιβράδυνσής του.

ii)  Ποια χρονική  στιγμή άρχισε η επιβράδυνση του Α αυτοκινήτου;

iii) Πόσο απέχουν τα αυτοκίνητα τη στιγμή που σταματά το πρώτο;

iv) Να βρεθεί η μέγιστη απόσταση μεταξύ τους, μέχρι τη στιγμή t΄ που το Β φτάνει στο σημείο που βρίσκεται σταματημένο το Α.

v) Να κάνετε τη γραφική παράσταση της απόστασης μεταξύ των δύο αυτοκινήτων σε συνάρτηση με το χρόνο, μέχρι τη στιγμή t΄.

Απάντηση:

ή

Απόσταση  δύο αυτοκινήτων.

Μην φωνάζετε στην οδηγό!!!

Στο πίσω μέρος ενός αυτοκινήτου, δένεται ένα μεγάλο κιβώτιο μάζας 200kg, μέσω ενός όχι και πολύ γερού σχοινιού, με μικρό μήκος. Το κιβώτιο παρουσιάζει με το έδαφος συντελεστή τριβής ολίσθησης μ=0,2. Κατόπιν η Μαρία κάθεται στη θέση του οδηγού και δίπλα της ο Κώστας και τη στιγμή t=0 ξεκινάνε. Μόλις το αυτοκίνητο «έπιασε τα 50» ο Κώστας έβγαλε τις φωνές:

-Σιγά μην τρέχεις έτσι, θα κοπεί  το σχοινί!!!

Αποτέλεσμα, η Μαρία αφήνει λίγο το γκάζι, οπότε η ταχύτητα του αυτοκινήτου μεταβάλλεται, σε συνάρτηση με το χρόνο, όπως φαίνεται  στο παρακάτω διάγραμμα, στα πρώτα 20 δευτερόλεπτα της κίνησης.

i) Εξετάστε αν ο Κώστας είχε δίκιο για τις φωνές που έβαλε.

ii) Να βρεθεί η τάση του νήματος τη χρονική στιγμή t₁=8s.

iii) Να υπολογιστεί η ενέργεια που μεταφέρεται από το αυτοκίνητο στο κιβώτιο στα πρώτα 20 δευτερόλεπτα της κίνησης.

iv) Κάποια  στιγμή και ενώ το αυτοκίνητο τρέχει με ταχύτητα 20m/s, η Μαρία βλέπει στο φανάρι που πλησιάζει, να ανάβει το πορτοκαλί. Γνωρίζει ότι η αυτό διαρκεί 4s, ενώ βλέπει ακόμη δίπλα στο φανάρι και τον τροχονόμο!!! Αμέσως φρενάρει και καταφέρνει να ακινητοποιήσει το αυτοκίνητο, πριν ανάψει το κόκκινο, ακριβώς δίπλα στον τροχονόμο.

Γιατί όμως φωνάζει ακόμη πιο δυνατά τώρα ο Κώστας;

Η αντίσταση του αέρα θεωρείται αμελητέα, ενώ  g=10m/s².

Απάντηση:

ή

Μην φωνάζετε στην οδηγό!!!

Κύκλωμα με πηγή και έναν καταναλωτή.

Στο κύκλωμα του σχήματος η πηγή έχει ΗΕΔ Ε=40V και εσωτερική αντίσταση r=2Ω. Με το διακόπτη ανοικτό, το ιδανικό αμπερόμετρο δείχνει ένδειξη 5Α.

i) Τι ποσοστό της ισχύος που παρέχει η πηγή στο κύκλωμα μετατρέπεται σε θερμότητα στον αντιστάτη R;

ii) Κλείνουμε το διακόπτη και η ένδειξη του αμπερομέτρου γίνεται 4Α. Να βρεθεί η ισχύς που παρέχει η πηγή στο κύκλωμα, καθώς και η ενέργεια που παρέχει το ηλεκτρικό ρεύμα στο αδιαφανές κιβώτιο (δεν γνωρίζουμε τι ακριβώς περιέχει, απλά είναι ένας καταναλωτής Κ) σε χρονικό διάστημα 20 λεπτών, σε kWh.

Απάντηση:

ή

Κύκλωμα με πηγή και έναν καταναλωτή.

27ος Διαγωνισμός της ένωσης Κυπρίων Φυσικών.

Δείτε όλα τα θέματα με κλικ εδώ

Και τις απαντήσεις.