Πέμπτη, 15 Νοεμβρίου 2018

Δύο κινήσεις και ο αφηρημένος οδηγός.


Στο φανάρι ενός ευθύγραμμου δρόμου, το οποίο έχει ανάψει κόκκινο, βρίσκονται ακίνητα δύο αυτοκίνητα Α και Β. Τη στιγμή που το φανάρι γίνεται πράσινο (t0=0), ο οδηγός του Α αυτοκινήτου του προσδίδει σταθερή επιτάχυνση μέτρου α1=2m/s2, με την οποία κινείται. Αντίθετα ο οδηγός του Β αυτοκινήτου ήταν αφηρημένος και καθυστέρησε την εκκίνηση για 4s, ενώ στη συνέχεια προσέδωσε σταθερή επιτάχυνση στο όχημά του α2=3m/s2.  Θεωρούμε τη θέση του φαναριού ως αρχή ενός προσανατολισμένου άξονα x, με θετική φορά προς τα δεξιά.
i)   Να  δοθούν οι εξισώσεις της ταχύτητας υΑ(t) και της θέσης xΑ(t) για το αυτοκίνητο Α και να βρείτε την θέση και την ταχύτητά του τη στιγμή t1=4s.
ii) Να γραφτούν οι αντίστοιχες εξισώσεις ταχύτητας υΒ(t) και της θέσης xΒ(t) για το αυτοκίνητο Β.
iii) Υποστηρίζεται ότι μόλις ξεκινήσει το Β αυτοκίνητο, η απόσταση μεταξύ των δύο οχημάτων θα αρχίσει να μειώνεται, μιας και αυτό αποκτά μεγαλύτερη επιτάχυνση από το Α. Μπορούμε να ελέγξουμε την παραπάνω υπόθεση με δυο τρόπους.
α) Να υπολογίσουμε τη μετατόπιση κάθε αυτοκινήτου για χρονικό διάστημα Δt=2s, μετά την εκκίνηση του δεύτερου. Σε τι συμπέρασμα καταλήγετε;
β) Να βρούμε τις θέσεις των δύο οχημάτων τη χρονική στιγμή t2=6s. Πόση είναι η απόσταση μεταξύ των δύο αυτοκινήτων τη στιγμή αυτή; Να συγκριθεί με την μεταξύ τους απόσταση τη στιγμή t1.
iv) Να βρεθεί ποια χρονική στιγμή t3 τα δύο αυτοκίνητα κινούνται με την ίδια ταχύτητα u. Τη στιγμή αυτή να βρεθούν οι ταχύτητες και οι θέσεις των δύο αυτοκινήτων. Πόση είναι η απόσταση μεταξύ των δύο αυτοκινήτων τη στιγμή αυτή;
v) Να υπολογιστεί η απόσταση μεταξύ των δύο αυτοκινήτων τη στιγμή t4=t3+2s. Μπορείτε να βγάλετε κάποιο συμπέρασμα για το τι γίνεται με την απόσταση των δύο αυτοκινήτων, στη διάρκεια των παραπάνω κινήσεων;
ή

Κυριακή, 11 Νοεμβρίου 2018

Δυο κινήσεις με ομοιότητες και διαφορές.



Ένα αυτοκίνητο είναι ακίνητο σε ευθύγραμμο δρόμο, απέχοντας απόσταση d=2km από ένα σπίτι. Σε μια στιγμή t=0, το όχημα αποκτά σταθερή επιτάχυνση, μέχρι τη στιγμή t1=20s, ενώ στη συνέχεια προχωρά με σταθερή ταχύτητα, με αποτέλεσμα τη χρονική στιγμή t2=1min, να περνά μπροστά από το σπίτι. Να υπολογιστούν:
i)  Η επιτάχυνση του αυτοκινήτου στα πρώτα 20s της κίνησής του.
ii)  Η τελική ταχύτητα του αυτοκινήτου.
iii) Σε μια επανάληψη της κίνησης, το αυτοκίνητο αποκτά μια σταθερή επιτάχυνση μέτρου α1=4m/s2 για κάποιο χρονικό διάστημα, συνεχίζει με σταθερή ταχύτητα και κάποια στιγμή αποκτά σταθερή επιβράδυνση μέτρου επίσης α1, με αποτέλεσμα τη στιγμή t2=1min να σταματά μπροστά στο σπίτι.
α) Να κάνετε ένα ποιοτικό διάγραμμα υ-t και να συγκρίνετε τα χρονικά διαστήματα της επιτάχυνσης και της επιβράδυνσης του αυτοκινήτου.
β) Να υπολογίσετε την μέγιστη ταχύτητα υ2 που αποκτά το αυτοκίνητο στη διάρκεια της κίνησης.
ή

Κυριακή, 28 Οκτωβρίου 2018

Ταυτόχρονο ξεκίνημα δύο αυτοκινήτων.



Σε ένα σημείο Ο, ευθύγραμμου δρόμου, ηρεμούν δίπλα- δίπλα δύο αυτοκίνητα Α και Β. Σε μια στιγμή t0=0, τα αυτοκίνητα ξεκινούν ταυτόχρονα να κινούνται και στο σχήμα δίνεται η ταχύτητά τους σε συνάρτηση με το χρόνο.
i)  Αντλώντας πληροφορίες από το διάγραμμα αυτό, να απαντήσετε τις ακόλουθες ερωτήσεις, χωρίς να κάνετε αριθμητικούς υπολογισμούς:
α) Ποιο αυτοκίνητο κινήθηκε με μεγαλύτερη επιτάχυνση;
β) Ποιο, κινήθηκε για μεγαλύτερο χρονικό διάστημα, επιταχυνόμενο;
γ) Ποιο διένυσε μεγαλύτερη απόσταση στη διάρκεια της επιταχυνόμενης κίνησης;
ii)  Να υπολογιστούν οι επιταχύνσεις α1 και α2 με τις οποίες κινήθηκαν αρχικά τα δυο αυτοκίνητα.
iii)  Ποια χρονική στιγμή t1 (t1>t0) τα δύο οχήματα έχουν την ίδια ταχύτητα; Πόσο απέχουν μεταξύ τους τη στιγμή αυτή;
iv) Να βρεθεί η χρονική στιγμή t2, όπου τα δυο αυτοκίνητα βρίσκονται ξανά στην ίδια θέση (το ένα δίπλα στο άλλο), καθώς και πόσο απέχουν την στιγμή αυτή από την αρχική θέση Ο.
ή


Τρίτη, 23 Οκτωβρίου 2018

Από ένα διάγραμμα ταχύτητας…



Κατά μήκος ενός ευθύγραμμου δρόμου, ο οποίος ταυτίζεται με έναν προσανατολισμένο άξονα x, κινείται ένα αυτοκίνητο και κάποια στιγμή, την οποία παίρνουμε ως αρχή μέτρησης των χρόνων (t0=0), περνά από ένα σημείο Α στη θέση x0=120m με ταχύτητα η οποία μεταβάλλεται όπως στο σχήμα.
i)   Να υπολογιστεί η επιτάχυνση του αυτοκινήτου και η μετατόπισή του μέχρι τη στιγμή t1=12s, η οποία έχει σημειωθεί στο σχήμα.
ii)  Πόσο χρόνο πρέπει να επιταχύνεται το αυτοκίνητο, προκειμένου να αυξήσει την ταχύτητά του κατά 14,6m/s;
iii)  Να γράψετε την εξίσωση υ=υ(t), που μας δίνει την ταχύτητα το αυτοκινήτου σε συνάρτηση με το χρόνο και να υπολογίστε την ταχύτητά του τη χρονική t2= 16,4s.
iv)  Να βρεθεί η ταχύτητα και η θέση του αυτοκινήτου τη χρονική στιγμή t3=36s, χωρίς να χρησιμοποιηθεί η εξίσωση κίνησης του αυτοκινήτου.
ή


Τρίτη, 16 Οκτωβρίου 2018

Ας σχεδιάσουμε την επιτάχυνση



Θέλουμε να συμπληρώσουμε τον παρακάτω πίνακα, στην αριστερή στήλη του οποίου εμφανίζεται η κίνηση μιας σφαίρας, όπου έχουν σχεδιαστεί τα διανύσματα των ταχυτήτων  υ1 και υ2 δυο χρονικές στιγμές t1 και t2.
Στην δεύτερη στήλη, παίρνοντας ένα σημείο Α, σχεδιάζουμε τις δυο ταχύτητες υ1 και υ2 , καθώς και το διάνυσμα μεταβολής της ταχύτητας Δυ, στο αντίστοιχο χρονικό διάστημα.
Στην τρίτη στήλη, σχεδιάζουμε το διάνυσμα της μέσης επιτάχυνσης της σφαίρας, στο διάστημα t1-t2.

Η τελευταία γραμμή του πίνακα δείχνει μια κίνηση που δεν είναι ευθύγραμμη. Φανταστείτε μια κίνηση στο επίπεδο που αρχικά η σφαίρα κινείται στη διεύθυνση x και τελικά στη διεύθυνση y.
i)  Να συμπληρωθεί ο πίνακας δίνοντας και σύντομες δικαιολογήσεις.
ii) Να χαρακτηρίσετε τις παραπάνω κινήσεις ως επιταχυνόμενες ή επιβραδυνόμενες.
ή

Σάββατο, 13 Οκτωβρίου 2018

Από ένα διάγραμμα θέσης



Σε ευθύγραμμο δρόμο, που ταυτίζεται με έναν προσανατολισμένο άξονα x, περπατά ένα παιδί και στο διπλανό διάγραμμα δίνεται η θέση του σε συνάρτηση με το χρόνο.
i) Το παιδί περπάτησε πάντα προς τα δεξιά ή όχι;
ii) Το παιδί περπάτησε με μεγαλύτερη ταχύτητα στο χρονικό διάστημα:
 α) Από 0  έως t1,  β) Από t1 έως t2.
Να δικαιολογήσετε αναλυτικά τις απαντήσεις σας στις δύο παραπάνω ερωτήσεις.
Αν δίνονται x0=40m, x1=80m, x2=160m, t1=40s, t2=80s, t3=90s και t4=120s, ζητούνται:
iii) Να υπολογιστεί η ταχύτητα του παιδιού σε κάθε χρονικό διάστημα και να παρασταθεί γραφικά η ταχύτητα του παιδιού σε συνάρτηση με το χρόνο (υ=υ(t)).
iv) Να υπολογιστεί στο χρονικό διάστημα 0-120s:
 α) Η μέση διανυσματική ταχύτητα.
 β) Η μέση αριθμητική ταχύτητα.
ή

Σάββατο, 6 Οκτωβρίου 2018

Δυο μαθητές περπατούν προς την ίδια κατεύθυνση


Σε ευθύγραμμο δρόμο βρίσκονται ακίνητοι δύο μαθητές Α και Β σε απόσταση d=40m. Σε μια στιγμή (την θεωρούμε ως t0=0) ο Α μαθητής ξεκινά να περπατά με σταθερή ταχύτητα, ενώ ο Β καθυστερεί να ξεκινήσει, πράγμα που κάνει τη στιγμή t1=20s. Στο διπλανό διάγραμμα εμφανίζονται οι ταχύτητες των μαθητών. Αν θεωρήσουμε ως αρχή του άξονα x (x=0), την αρχική θέση του Β μαθητή:
i) Πόσο απέχουν οι μαθητές τη στιγμή που ξεκινά να περπατά ο Β μαθητής;
ii) Να υπολογιστούν οι μετατοπίσεις των δύο μαθητών τη χρονική στιγμή t2=200s. Ποια απόσταση μεταξύ των μαθητών την στιγμή αυτή;
iii) Ποια χρονική στιγμή οι δυο μαθητές βρίσκονται ο ένας δίπλα στον άλλο και σε ποια θέση συμβαίνει αυτό;
iv) Να κάνετε τη γραφική παράσταση x=x(t), της θέσης σε συνάρτηση με το χρόνο και για τα δυο παιδιά, στο ίδιο διάγραμμα.
ή

Σάββατο, 29 Σεπτεμβρίου 2018

Οι θέσεις, οι μετατοπίσεις και μια διασταύρωση


Δυο παιδιά, ο Αριστοτέλης (Α) και ο Διονύσης (Δ), βρίσκονται ακίνητα σε ευθύγραμμο δρόμο, ο πρώτος σε απόσταση 40m, αριστερά μιας κολόνας της ΔΕΗ και ο δεύτερος σε απόσταση 85m, δεξιά της κολόνας, όπως στο σχήμα. Σε μια στιγμή (t0=0) τα παιδιά αρχίζουν να περπατούν το ένα προς το άλλο, με σταθερές ταχύτητες, με αποτέλεσμα μετά από χρονικό διάστημα 80s, ο Αριστοτέλης να βρίσκεται 56m δεξιά της κολόνας. Στο παραπάνω διάστημα, ο Διονύσης κινήθηκε με σταθερή ταχύτητα μέτρου 1,3m/s. Ορίζουμε έναν προσανατολισμένο άξονα x, με αρχή το σημείο Ο στη βάση της κολόνας και με θετική την προς τα δεξιά κατεύθυνση, με βάση τον οποίο μελετάμε τις δυο κινήσεις:
i)  Ποιες οι αρχικές θέσεις των δύο παιδιών και ποιες οι μετατοπίσεις τους στο χρονικό διάστημα από 0-80s;
ii) Ποιες οι θέσεις των παιδιών τη χρονική στιγμή t΄=80s και ποια η απόσταση μεταξύ τους;
iii) Να υπολογιστεί η απόσταση των παιδιών τη στιγμή t1=20s.
iv) Ποια χρονική στιγμή t2 τα παιδιά διασταυρώνονται και σε ποιο σημείο Σ συνέβη αυτή η διασταύρωση;
ή
   Οι θέσεις, οι μετατοπίσεις και μια διασταύρωση

Κυριακή, 23 Σεπτεμβρίου 2018

Δυο μαθητές περπατούν για να συναντηθούν


Σε ευθύγραμμο δρόμο και στα σημεία Ο και Κ, βρίσκονται δυο μαθητές, ο Αντώνης (Α) και ο Βασίλης (Β), απέχοντας απόσταση 165m. Σε μια στιγμή (t0=0) ο Βασίλης αρχίζει να περπατά με σταθερή ταχύτητα, πλησιάζοντας τον Αντώνη, με αποτέλεσμα τη χρονική στιγμή t1=50s τα δυο παιδιά να απέχουν μεταξύ τους 90m. Θεωρώντας την θέση Ο που βρίσκεται ο Αντώνης, ως αρχή ενός προσανατολισμένου άξονα x και την δεξιά κατεύθυνση ως θετική, να βρεθούν:
i)  Η αρχική θέση του Βασίλη, καθώς και η θέση  του τη στιγμή t1.
ii) Η ταχύτητα με την οποία περπατά ο μαθητής Β.
Την στιγμή t1 ξεκινά και ο Αντώνης να περπατά, κινούμενος προς τα δεξιά, με σταθερή ταχύτητα, προκειμένου να συναντήσει τον Βασίλη, ο οποίος συνεχίζει πάντα το βάδισμά του, με την σταθερή του ταχύτητα. Τα δυο παιδιά συναντώνται αφού χρειάστηκε να περπατήσει ο Αντώνης για 30s.
iii) Να βρεθεί η χρονική στιγμή και η θέση της συνάντησης των δύο μαθητών.
iv) Να υπολογιστεί η ταχύτητα με την οποία περπάτησε ο Αντώνης.
v) Να κάνετε τη γραφική παράσταση x-t, της θέσης σε συνάρτηση με το χρόνο και για τα δυο παιδιά στους ίδιους άξονες, με δεδομένο ότι μόλις συναντήθηκαν, σταμάτησαν και «πιάσανε την κουβέντα».
ή
   Δυο μαθητές περπατούν για να συναντηθούν

Παρασκευή, 14 Σεπτεμβρίου 2018

Το μέτρο και η αλγεβρική τιμή της μετατόπισης. Φ.Ε.


Μια μικρή σφαίρα, βρίσκεται πάνω σε ένα τραπέζι, σε ένα σημείο Α. Ορίζουμε ένα οριζόντιο σύστημα ορθογωνίων αξόνων x,y όπως στο διπλανό σχήμα, με αποτέλεσμα η αρχική θέση Α της σφαίρας να έχει συντεταγμένες Α(x,y)=(6cm, 14cm). Η σφαίρα κάνει δύο διαδοχικές μετακινήσεις. Αρχικά μετατοπίζεται κατά Δx=+16cm πηγαίνοντας στη θέση Β. Στη συνέχεια μετατοπίζεται κατά Δy=-12cm φτάνοντας στη θέση Γ.
i)   Να βρεθούν και να σημειωθούν πάνω στο σχήμα οι θέσεις Β και Γ.
ii)   Οι δυο παραπάνω μετατοπίσεις είναι διανύσματα. Να σχεδιαστούν τα διανύσματα αυτά.
iii)  Η μετατόπιση από το Α στο Β έχει (αλγεβρική) τιμή  Δx= …….   και μέτρο |Δx|= ……..
Αντίστοιχα η μετατόπιση από το Β στο Γ έχει (αλγεβρική) τιμή  Δy= …...   και μέτρο |Δy|=  …....
iv) Να σχεδιάσετε επίσης το διάνυσμα της συνολικής μετατόπισης της σφαίρας, πάνω στο σχήμα (ένα διάνυσμα, ας το συμβολίσουμε α) και στη συνέχεια να βρείτε:
α) Το μέτρο της συνολικής μετατόπισης |α|,  
β) την (αλγεβρική) τιμή της συνολικής μετατόπισης α,
γ) το συνολικό διάστημα που διένυσε η σφαίρα.
ή



Τρίτη, 11 Σεπτεμβρίου 2018

Θέση, μετατόπιση και χρονική στιγμή. Φ.Ε.


Ένα παιδί στέκεται στο σημείο Α ενός ευθύγραμμου δρόμου. Κάποια στιγμή αρχίζει να περπατά και μετά από 150s σταματά στη θέση Β, η οποία απέχει 100m από το σημείο Α. Αφού παραμείνει για λίγο στη θέση Β, επιστρέφει στο σημείο Γ, διανύοντας απόσταση 60m μέσα σε χρονικό διάστημα 80s.
Για να μπορέσουμε να μελετήσουμε τις παραπάνω κινήσεις, παίρνουμε έναν άξονα x, όπως στο σχήμα, όπου η αρχή του, βρίσκεται αριστερά του σημείου Α απέχοντας 10m από αυτό.
i)  Το παιδί βρίσκεται αρχικά στο σημείο Α, στη θέση x0=…..m και φτάνει στο σημείο Β, στη θέση x1=….. m. Το τελικό σημείο που φτάνει, σημείο Γ, είναι η θέση x2=…..m.
ii) Για τις αντίστοιχες μετατοπίσεις θα έχουμε:
  Από το Α στο Β: Δx1,0= ….   m,   από το Β στο Γ:  Δx2,1= …. m και από το Α στο Γ: Δx2,0= …..  m.
  Να σχεδιάσετε στο παρακάτω σχήμα, τα διανύσματα των παραπάνω μετατοπίσεων.
 
   Το συνολικό διάστημα που διένυσε το παιδί ήταν s= ….. m.

Διαβάστε τη συνέχεια από εδώ… ή 


Τρίτη, 7 Αυγούστου 2018

Μήκος φρεναρίσματος και απόσταση ασφαλείας


Πολύ συχνά γινόμαστε μάρτυρες τροχαίων ατυχημάτων, που οφείλονται σε διάφορους λόγους. Ένα πολύ μεγάλο ποσοστό όμως οφείλεται στο ότι ο οδηγός δεν καταφέρνει να σταματήσει το αυτοκίνητό του, σε περίπτωση που συναντήσει κάποιο κίνδυνο. Φρενάρει μεν, αλλά δεν προλαβαίνει να σταματήσει είτε επειδή η απόσταση που τον χωρίζει από ένα εμπόδιο είναι πολύ μικρή είτε γιατί η ταχύτητά του είναι αρκετά μεγάλη. Ας μελετήσουμε λοιπόν αναλυτικότερα την απόσταση που θα διανύσει ένα αυτοκίνητο από τη στιγμή που αρχίζει να φρενάρει, μέχρι να σταματήσει.
Έστω λοιπόν ένα αυτοκίνητο που κινείται σε οριζόντιο δρόμο με ταχύτητα Uο και σε μια στιγμή φρενάρει ώστε να μπλοκάρει του τροχούς και να μην στρέφονται.
Παίρνουμε τις δυνάμεις που ασκούνται στο αυτοκίνητο. Αυτές είναι το βάρος του, η κάθετη αντίδραση του επιπέδου και η τριβή ολίσθησης.

Διαβάστε τη συνέχεια
ή
 Μήκος φρεναρίσματος και απόσταση ασφαλείας