Μια μεταβαλλόμενη κίνηση

Ένα αυτοκίνητο κινείται ευθύγραμμα και, παίρνοντας κάποια στιγμή ως t₀=0, σχεδιάσαμε  την ταχύτητά του σε συνάρτηση με το χρόνο, λαμβάνοντας το διπλανό σχήμα.

i) Πόση είναι η μέση επιτάχυνση του αυτοκινήτου από 0-10s;

ii) Η μέση επιτάχυνση στο χρονικό διάστημα 0-5s έχει τιμή:

 α) α_1μ=-0,2m/s²,   β) α_1μ=-0,3m/s²,    γ) α_1μ=-0,5m/s².

iii) Η στιγμιαία επιτάχυνση του αυτοκινήτου τη χρονική στιγμή t₁=5s έχει τιμή:

  α) α₁=-0,4m/s²,  β) α_1μ=-0,5m/s²,   γ) α_1μ=-0,6m/s².

iv) Η μετατόπιση του αυτοκινήτου στο χρονικό διάστημα 0-10s είναι ίση με:

  α) Δx₁= 12m,     β) Δx₁= 20m,    γ) Δx₁= 28m.

Απάντηση:

ή

   Μια μεταβαλλόμενη κίνηση

Μια μεταβαλλόμενη κίνηση

Θα υπάρξει ολίσθηση;

Ένα σώμα Α μάζας m αφήνεται να κινηθεί πάνω σε σανίδα μάζας Μ. Ο συντελεστής οριακής στατικής τριβής μεταξύ σώματος Α και σανίδας είναι μ=0,8∙εφφ, όπου φ η κλίση του λείου κεκλιμένου επιπέδου, ενώ το κεκλιμένο επίπεδο είναι λείο.

i) Στο πρώτο σχήμα η σανίδα συγκρατείται από εμάς και αφήνεται ταυτόχρονα με το σώμα Α.

ii) Στο δεύτερο σχήμα, η σανίδα ηρεμεί στο άκρο ελατηρίου.

Θα υπάρξει ολίσθηση του σώματος Α πάνω στη σανίδα, τη στιγμή που αφήνεται να κινηθεί και αν ναι, σε ποια περίπτωση;

Απάντηση:

ή

 Θα υπάρξει ολίσθηση;

Η ανάρτηση δεν απευθύνεται σε μαθητές.

Η μέση, η στιγμιαία ταχύτητα και η επιτάχυνση.

Ένα φύλλο εργασίας

Κατά μήκος ενός χάρακα κινείται μια μικρή σφαίρα και στο σχήμα φαίνονται μερικές θέσεις της. Το χρονικό διάστημα ανάμεσα σε δύο διαδοχικές θέσεις είναι 0,2s.

i)  Η ταχύτητα της σφαίρας παραμένει σταθερή ή όχι και γιατί;

ii) Με βάση την εικόνα να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα με τις χρονικές στιγμές και τις θέσεις της σφαίρας.

iii) Να υπολογίσετε τη μέση ταχύτητα στα χρονικά διαστήματα:

α) 0,4-1,2s,    β) 0,4-1s,   γ) 0,4- 0,8s,   δ) 0,4-0,6s.   ε) 0,2-0,6s,    στ) 0,-0,6s

iv) Τη στιγμή που η σφαίρα περνά από το σημείο Α έχει ταχύτητα (στιγμιαία ταχύτητα) με μέτρο περίπου ίσο με ………..

Η συνέχεια…

ή

	Η μέση, η στιγμιαία ταχύτητα και η επιτάχυνση.

Εργαστήριο: Η διατήρηση της μηχανικής ενέργειας στην ελεύθερη πτώση.

(με τη βοήθεια χρονοφωτογράφισης)

Αφήνουμε μια μικρή σφαίρα, μάζας 0,2kg, να πέσει ελεύθερα, δίπλα σε ένα χάρακα, βαθμολογημένο σε cm και τραβήξαμε μια πολλαπλή φωτογραφία (η μια θέση διαφέρει από την άλλη κατά 0,02s).

Επειδή οι πέντε αρχικές θέσεις μάλλον αλληλεπικαλύπτονται, θα μελετήσουμε την κίνηση μετά την 6^η θέση.

Έστω ότι ο χάρακας στηρίζεται στο έδαφος και ας πάρουμε ως επίπεδο μηδενικής δυναμικής ενέργειας, το οριζόντιο επίπεδο που περνά από την ένδειξη 45cm, του χάρακα και η οποία είναι η θέση της σφαίρας τη στιγμή που φτάνει στο έδαφος.

i)  Με βάση την διπλανή εικόνα να συμπληρωθεί ο παρακάτω πίνακας, όπου y η θέση της σφαίρας με βάση την ένδειξη που βλέπετε, t η χρονική στιγμή,  Δy η μετατόπιση μεταξύ δύο διαδοχικών θέσεων και υ_μ η μέση ταχύτητα στα διάφορα χρονικά διαστήματα.

Η συνέχεια σε docx 

Ή από εδώ: σε pdf  ή σε docx και σε doc.

Ενέργεια. Μερικές όψεις της διδασκαλίας μας.

Διαβάζοντας τα παραπάνω σχόλια, βλέπω να μην υπάρχει καμιά σοβαρή διαφωνία, ότι κατά τη διδασκαλία μας στη δευτεροβάθμια, χωρίς να απεμπολούμε τις γενικεύσεις και τα μοντέλα της θεωρητικής φυσικής, εμείς διδάσκουμε φυσική και όχι θεωρητική φυσική.
Οπότε λέω να μιλήσουμε λίγο για το τι συμβαίνει με την ενέργεια, τα έργα, τι διδάσκουμε και πόσο αυτά που διδάσκουμε είναι σωστά ή αν κάνουμε και εκπτώσεις και ποιες είναι αυτές.
Το θέμα, από θεωρητική σκοπιά μας έχει απασχολήσει πάρα πολλές φορές, με μια τελευταία γενική μελέτη σε μια πρόσφατη προσωπική μου ανάρτηση εδώ. Αλλά για κάποιον που θα ήθελε να διαβάσει και άλλες αναρτήσεις με άλλες παρόμοιες αναρτήσεις- συζητήσεις, θα μπορούσε να τις βρει (τις κυριότερες) με κλικ εδώ. Πριν λίγες μέρες άλλωστε, έδωσα ξανά ένα κείμενο με τίτλο: Δυναμική-Μηχανική-Ενέργεια Ταλάντωσης.
Οπότε τι νέο να έχει να πει κάποιος; Νομίζω ότι αφήνοντας τις γενικές θεωρήσεις στην άκρη, έχουμε υποχρέωση να τοποθετηθούμε σε μερικές ειδικές περιπτώσεις, πάνω στις οποίες διατυπώθηκαν έντονες αμφισβητήσεις το τελευταίο χρονικό διάστημα και αφορούν άμεσα τη διδασκαλία μας.
Η συνέχεια

«Πως διδάσκουμε την ενέργεια;»

Μια διδακτική πρόταση για το πώς διδάσκουμε την ενέργεια, από τον συνάδελφο Γιάννη Παπαδάκη.

Στα περισσότερα σχολικά βιβλία (και στα ισχύοντα) η εισαγωγή της ενέργειας γίνεται αξιωματικά ακολουθώντας την σειρά: Ορίζεται πρώτα το έργο δύναμης, και στην συνέχεια η κινητική και η δυναμική ενέργεια. Επειδή το πρόβλημα είναι κυρίως εννοιολογικό, θεωρώ ότι η εισαγωγή των εννοιών έργο και ενέργεια πρέπει να ακολουθήσουν ένα πιο δομικό και αιτιοκρατικό τρόπο στις τάξεις εκείνες, που η εισαγωγή τους είναι σημαντικότερη από την μαθηματική τους επεξεργασία, όπως στην 2^α Γυμνασίου και στην 1^η Λυκείου.

Α. Πως προκύπτει η αναγκαιότητα εισαγωγής του φυσικού μεγέθους «Κινητική Ενέργεια»; Υπάρχει όντως τέτοια αναγκαιότητα;

Ξεκινούμε την μελέτη μας έχοντας γνωρίσει τα μεγέθη: μάζα, ταχύτητα, επιτάχυνση, δύναμη, ορμή.

Μάζα: η δυσκολία αλλαγής της κίνησης των σωμάτων.

Ταχύτητα: πόσο γρήγορα κινείται ένα σώμα.

Επιτάχυνση: πόσο γρήγορα αλλάζει η ταχύτητα ενός σώματος.

Δύναμη: η αιτία που αλλάζει τη ταχύτητα των σωμάτων ή η αιτία που τα παραμορφώνει.

Ορμή: το μέγεθος εκείνο που διατηρείται όταν δύο σώματα αλληλεπιδρούν μόνο μεταξύ τους. Είναι το γινόμενο της μάζας επί την ταχύτητα των σωμάτων. Να θυμίσω ότι ό Newton όταν διατύπωνε τους νόμους του, ανέφερε το μέγεθος «ποσότητα κίνησης» σήμερα αποδίδεται με την την έννοια ορμή.

Σε τι διαφέρει ένα κινούμενο με ένα ακίνητο σώμα;

Ας το δούμε με ένα παράδειγμα: Περνάς άφοβα μπροστά από ένα σταθμευμένο αυτοκίνητο; Περνάς το ίδιο άφοβα μπροστά από το ίδιο αυτοκίνητο όταν τρέχει με ταχύτητα 50 Km/h; Τι είναι αυτό το παραπάνω που έχει το κινούμενο αυτοκίνητο από το ακίνητο; Ας προσπαθήσουμε να δώσουμε μια ολοκληρωμένη απάντηση.

Δείτε την συνέχεια από εδώ,

Η τριβή ολίσθησης και η στατική τριβή.

Με αφορμή ερωτήσεις και σχόλια πάνω στην ανάρτηση Κρούση και διατήρηση της ορμής, ας δούμε λίγο αναλυτικά το θέμα στατική τριβή και τριβή ολίσθησης.

---------------------

Έστω ένα σώμα μάζας m=5kg που ηρεμεί σε οριζόντιο επίπεδο, με το οποίο εμφανίζει συντελεστή τριβής ολίσθησης μ=0,4 και συντελεστή οριακής στατικής τριβής μ_s=0,5. Αν g=10m/s²:

i)   Ποιο το μέτρο της οριακής στατικής τριβής και ποιο της τριβής ολίσθησης;

ii)  Στο σώμα ασκούμε οριζόντια δύναμη F. Να υπολογιστεί η ασκούμενη τριβή, αν το μέτρο της δύναμης είναι:

α) F= 16Ν              β) F=20Ν                      γ) F= 23Ν και  δ) F=27Ν.

iii) Το σώμα εκτοξεύεται οριζόντια με αρχική ταχύτητα υ₀=3m/s, ενώ ταυτόχρονα ασκείται πάνω του η δύναμη F=20Ν. Τι κίνηση πραγματοποιεί;

Απάντηση:

Στο σχήμα έχουν σχεδιαστεί οι δυνάμεις που ασκούνται στο σώμα.

i)     Στον άξονα y το σώμα ισορροπεί, άρα ΣF_y=0 → Ν=Β=mg=50Ν.

       Οπότε:

Τ_ολ= μ·Ν= 0,4·50Ν= 20Ν

       Ενώ

Τ_ορ=μ_s·Ν = 0,5·50Ν=25Ν.

ii)    α) Όταν η δύναμη έχει μέτρο F=16Ν, δεν είναι ικανή να επιταχύνει το σώμα, το οποίο συνεχίζει να παραμένει ακίνητο:

ΣF_x=0 →

F-Τ=0 →

Τ=Τ_s=F=16Ν.

β)    Το ίδιο θα συμβεί και σε κάθε περίπτωση που το μέτρο της δύναμης είναι μικρότερο ή ίσο με την οριακή τριβή. Δηλαδή:

Όταν F= 20Ν → Τ=Τ_s =20Ν

Όταν F=23Ν → Τ=Τ_s=23Ν

Όταν όμως το μέτρο της δύναμης ξεπεράσει τα 25 Ν το σώμα κινείται και η τριβή μετατρέπεται σε τριβή ολίσθησης.

Έτσι όταν F=27Ν, τότε:

 Τ=Τ_ολ=20Ν.

iii)   Το σώμα κινείται, συνεπώς η ασκούμενη τριβή είναι τριβή ολίσθησης με μέτρο Τ=20Ν, άρα η συνισταμένη δύναμη είναι μηδενική και το σώμα κινείται με σταθερή ταχύτητα, εκτελώντας ευθύγραμμη ομαλή κίνηση.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ:

Όταν ασκήσουμε μια δύναμη F=20Ν στο σώμα, τότε και η τριβή έχει μέτρο 20Ν και έχει αντίθετη φορά. Τι τριβή είναι αυτή; Αν το σώμα ήταν ακίνητο, η τριβή είναι στατική και το σώμα συνεχίζει να παραμένει ακίνητο, αφού ΣF=0. Αν το σώμα έχει ταχύτητα, η τριβή είναι τριβή ολίσθησης και το σώμα κινείται με σταθερή ταχύτητα αφού ΣF=0.

Δηλαδή και στις δύο περιπτώσεις το σώμα ισορροπεί, αλλά την μια φορά ηρεμεί, ενώ την άλλη κινείται με σταθερή ταχύτητα.

Άλγεβρα και Φυσική...

.

Επανέρχομαι στην προσφορά του συνάδελφου kaxri για μια πολύ χρήσιμη πρόταση της Άλγεβρας  και της εφαρμογές που μπορεί να βρει σε θέματα Φυσικής. Θα ήθελα και από εδώ να τον ευχαριστήσω για την προσφορά του αυτή.

Δείτε μερικές εφαρμογές των παραπάνω προτάσεων στη ΦΥΣΙΚΗ.

Δύο σώματα σε Κατακόρυφη βολή.

Πώς εφαρμόζουμε τις εξισώσεις σε περίπτωση μιας κατακόρυφης βολής, όταν κινούνται δύο σώματα ταυτόχρονα. Ας το δούμε με ένα παράδειγμα. 

Προηγουμένως όμως θα πρότεινα να μελετηθεί η προηγούμενη ανάρτηση:

Κατακόρυφη Βολή.

--------------------------

Από σημείο Ο, σε ύψος ύψος Η=90m από το έδαφος, εκτοξεύεται κατακόρυφα προς τα κάτω ένα σώμα Α με αρχική ταχύτητα μέτρου υ₀₁= 5m/s, ενώ ταυτόχρονα από ένα σημείο Κ που βρίσκεται στην ίδια κατακόρυφη με το σημείο Ο  στο έδαφος, εκτοξεύεται ένα δεύτερο σώμα Β, κατακόρυφα προς τα πάνω, με αρχική ταχύτητα μέτρου υ₀₂=40m/s. Αν g=10m/s² ενώ αντίσταση του αέρα δεν υπάρχει, να βρεθεί το σημείο συνάντησης των δύο σωμάτων, καθώς και οι ταχύτητες των σωμάτων τη στιγμή της συνάντησης.

Για να λύσουμε το πρόβλημα, θα πρέπει να επιλέξουμε ένα σύστημα αναφοράς. Πού είναι η θέση y=0 του άξονα και ποια είναι η θετική κατεύθυνση; Πώς γράφουμε τις εξισώσεις;

Προφανώς το πρόβλημα μπορεί να επιλυθεί με οποιαδήποτε επιλογή θέσης και προσανατολισμού του άξονα. Ας δοκιμάσουμε δυο διαφορετικά ενδεχόμενα, που συνήθως χρησιμοποιούμε.

1.   Θέτουμε y=0 τη θέση εκτόξευσης του Α σώματος, το σημείο Ο και θετική την κατεύθυνση προς τα κάτω.

Η προς τα κάτω κατεύθυνση είναι θετική, οπότε και η επιτάχυνση των δύο σωμάτων είναι θετική, δηλαδή α₁=α₂=g και οι εξισώσεις για τα δύο κινητά είναι:

Για το Α:

υ₁=υ₀₁ + α₁·t  →  υ₁=υ₀₁ + g·t  →

υ₁=5 +10·t  (1)

και  Δy= υ₀₁·t + ½ α₁·t² →          y₁= υ₀₁·t + ½ g·t² →

y₁= 5·t + ½ 10·t²  (2)

Για το σώμα Β:

υ₂=υ₀₂ + α₁·t  →  υ₂= -υ₀₂ + g·t 

υ₂= -40 + 10·t  (3)

και  Δy= υ₀₂·t + ½ α₂·t² →          y₂ –y₀₂= - υ₀₂·t + ½ g·t² →

y₂= 90 - 40·t + ½ 10·t² (4)

Δείτε τη συνέχεια της λύσης από ΕΔΩ.

--------------------

2.   Η προς τα πάνω κατεύθυνση είναι θετική, οπότε και η επιτάχυνση των δύο σωμάτων είναι αρνητική, δηλαδή α₁=α₂= -g και οι εξισώσεις για τα δύο κινητά είναι: 

Για το Α:

υ₁=υ₀₁ + α₁·t  →  υ₁=- υ₀₁ - g·t  →

υ₁=-5 -10·t  (5)

και  Δy= υ₀₁·t + ½ α₁·t² →          y₁-y₀= υ₀₁·t + ½ g·t² , y₀₁=90m →

y₁= 90- 5·t - ½ 10·t²  (6)

Για το σώμα Β:

υ₂=υ₀₂ + α₁·t  →  υ₂= υ₀₂ - g·t 

υ₂= 40 - 10·t  (7)

και  Δy= υ₀₂·t + ½ α₂·t² →          y₂ =  υ₀₂·t - ½ g·t² →

y₂= 40·t - ½ 10·t² (8)

Δείτε τη συνέχεια της λύσης από ΕΔΩ.

.

Μπορείτε να κατεβάσετε το αρχείο σε pdf.

Κατακόρυφη Βολή.

Πριν την μελέτη της ανάρτησης αυτής, θα πρότεινα να δείτε την προηγούμενη ανάρτηση:

Ελεύθερη πτώση.

------------

Τι κάνουμε λοιπόν όταν έχουμε μια εκτόξευση με κάποια αρχική ταχύτητα, ενός σώματος σε κατακόρυφη διεύθυνση;

Παίρνουμε τον κατακόρυφο άξονα y΄y και αφού θέσουμε κάπου το μηδέν του άξονα (συνήθως στο σημείο εκτόξευσης) ορίζουμε την θετική φορά του άξονα. Βολεύει να παίρνουμε την κατεύθυνση της αρχικής ταχύτητας εκτόξευσης ως  θετική.

Κατόπιν με βάση τα προηγούμενα και αφού το σώμα έχει σταθερή επιτάχυνση, γράφουμε τις εξισώσεις της ευθύγραμμης πμαλά μεταβαλλόμενης κίνησης.

Ας το δούμε με κατάλληλα παραδείγματα.

Παράδειγμα 1^ο:

Από ύψος Η=25m από το έδαφος εκτοξεύεται τη χρονική στιγμή t₀=0, κατακόρυφα προς τα πάνω, ένα σώμα με αρχική ταχύτητα μέτρου υ₀=20m/s. Αν g=10m/s² και η αντίσταση του αέρα θεωρείται αμελητέα, ζητούνται:

1. Η ταχύτητα και η θέση του σώματος τη χρονική στιγμή t₁=1s.
   
2. Η ταχύτητα και η θέση του σώματος τη χρονική στιγμή t₁=3s.
   
3. Ποια χρονική στιγμή και με ποια ταχύτητα το σώμα φτάνει στο έδαφος;
   

Απάντηση:

Στο διπλανό σχήμα έχει σχεδιαστεί ο κατακόρυφος άξονας y΄y πάνω στον οποίο πραγματοποιείται η κίνηση, με θετική φορά προς τα πάνω και με το σημείο εκτόξευσης Ο στη θέση y=0.

Το σώμα έχει σταθερή επιτάχυνση α= -g, αφού η επιτάχυνση του σώματος έχει φορά προς τα κάτω. Έτσι οι εξισώσεις για την κίνηση του σώματος είναι:

υ= υ₀ + α·t → υ=υ₀-gt (1) και

Δy= υ₀·t + ½ α·t² →  y= υ₀·t – ½ g·t²  (2)

1.  Αντικαθιστώντας στις παραπάνω σχέσεις t₁=1s παίρνουμε:
   

υ₁ = υ₀-gt=20m/s-10m/s²·1s= 10m/s.

 y₁ = υ₀·t – ½ g·t² = 20·1- ½ 10·1= 15m.

Δηλαδή το σώμα συνεχίζει να κινείται προς τα πάνω με ταχύτητα μέτρου 10m/s ενώ βρίσκεται πιο ψηλά από την αρχική του θέση κατά 15m. Ή αν θέλετε έχει μετατοπισθεί κατά 15m και βρίσκεται πλέον σε ύψος h=Η+y= 25m+15m=40m.

  .......2. Με αντίστοιχη αντικατάσταση για t₂=3s παίρνουμε:

υ₂ = υ₀-gt=20m/s-10m/s²·3s= -10m/s.

y₂ = υ₀·t – ½ g·t² = 20·3- ½ 10·3²= 15m.

Τι βρήκαμε; Το σώμα έχει τώρα ταχύτητα μέτρου 10m/s, με φορά προς τα κάτω, ενώ βρίσκεται ξανά 15m πάνω από το σημείο εκτόξευσης. Είναι δηλαδή στην ίδια θέση που ήταν και για t₁=1s.

.......3. Τη στιγμή που το σώμα φτάνει στο έδαφος έχει απομάκρυνση y= -25m και με αντικατάσταση στην σχέση (2) θα έχουμε:

y= υ₀·t – ½ g·t²   → -25 = 20t – ½ 10·t² ή

5t² -20t-25=0 ή

t² -4t-5=0

 

Συνεπώς ή t= -1s (απορρίπτεται) ή t=5s (δεκτή λύση)

Και με αντικατάσταση στην (1) έχουμε:

υ_τελ= υ₀-gt=20m/s-10m/s²·5s= -30m/s.

Παράδειγμα 2^ο:

Από ύψος Η=60m από το έδαφος εκτοξεύεται για t=0, κατακόρυφα προς τα κάτω, ένα σώμα με αρχική ταχύτητα μέτρου υ₀=5m/s. Αν g=10m/s² και η αντίσταση του αέρα θεωρείται αμελητέα, ζητούνται:

1. Η ταχύτητα και η θέση του σώματος τη χρονική στιγμή t₁=1s.
   
2. Ποια χρονική στιγμή και με ποια ταχύτητα το σώμα φτάνει στο έδαφος;
   

Απάντηση:

Στο διπλανό σχήμα έχει σχεδιαστεί ο κατακόρυφος άξονας y΄y πάνω 

στον οποίο πραγματοποιείται η κίνηση, με θετική φορά προς τα κάτω και με το σημείο εκτόξευσης Ο στη θέση y=0.

Το σώμα έχει σταθερή επιτάχυνση α= + g, αφού η επιτάχυνση του σώματος έχει φορά προς τα κάτω. Έτσι οι εξισώσεις για την κίνηση του σώματος είναι:

υ= υ₀ + α·t → υ=υ₀+gt (1) και

Δy= υ₀·t + ½ α·t² →  y= υ₀·t + ½ g·t²  (2)

1.  Αντικαθιστώντας στις παραπάνω σχέσεις t₁=1s παίρνουμε:
   

υ₁=υ₀+gt= 5+10·1=15m/s και

y₁= υ₀·t + ½ g·t² = 5·1+ ½ 10·1=10m.

Πράγμα που σημαίνει ότι το σώμα έχει μετακινηθεί κατά 10m και βρίσκεται σε ύψος h=Η-y=50m από το έδαφος.

2.   Τη στιγμή που το σώμα φτάνει στο έδαφος y=60m και με αντικατάσταση στην (2) έχουμε:

y= υ₀·t + ½ g·t²  → 60=5t+ ½ 10·t² ή

5t² + 5t-60=0 ή

t² + t – 12=0

οπότε:

άρα ή t=-4s (απορρίπτεται) ή t₂=3s (δεκτή λύση)

και υ₂= υ₀+gt= 5+10·3=35m/s.

.

Μπορείτε να το κατεβάσετε σε pdf

.