Δευτέρα 27 Δεκεμβρίου 2021

Δύο σώματα κινούνται κατακόρυφα.

  

Από ένα σημείο Α σε ύψος h=60m από το έδαφος, αφήνεται τη χρονική στιγμή t0=0, να πέσει ένα σώμα Σ1, χωρίς αρχική ταχύτητα, ενώ ταυτόχρονα από το σημείο Ο του εδάφους, το οποίο βρίσκεται στην ίδια κατακόρυφο με το Α, εκτοξεύεται κατακόρυφα προς τα πάνω, ένα δεύτερο σώμα Σ2, με αρχική ταχύτητα μέτρου υ02=20m/s.

Αφού θεωρήσετε το σημείο Ο ως αρχή ενός άξονα y΄y με θετική κατεύθυνση προς τα πάνω:

i)  Να γράψετε τις εξισώσεις ταχύτητας- χρόνου  (υ=υ(t))  και θέσης- χρόνου (y=y(t)) για τα δυο σώματα.

ii) Να υπολογίσετε τις ταχύτητες και τις θέσεις των δύο σωμάτων τη χρονική στιγμή t1=1s.

iii) Ποια  χρονική στιγμή t2 τα δυο σώματα  συγκρούονται; Να βρείτε την θέση σύγκρουσης, καθώς και τις ταχύτητες των σωμάτων ελάχιστα πριν την κρούση.

Η αντίσταση του αέρα θεωρείται αμελητέα, ενώ g=10m/s2.

Απάντηση:

ή

Τρίτη 21 Δεκεμβρίου 2021

Ποιος μαθητής έχει δίκιο για την καμπύλη που χάραξε;

 Λίγα … Μαθηματικά:

Έστω μια συνάρτηση 2ου βαθμού της μορφής y=αx2+βx+γ. Η γραφική της παράσταση είναι μια παραβολή, η μορφή της οποίας θα καθοριστεί από το πρόσημο του συντελεστή του δευτεροβάθμιου όρου, δηλαδή από το πρόσημο του α.

·        Αν το α>0, τότε η παραβολή έχει στρέψει τα «κοίλα άνω», όπως στο πρώτο από τα παρακάτω σχήματα:

 

·        Αν α< 0, η παραβολή έχει τα «κοίλα κάτω», όπως στο δεξιό από τα παραπάνω σχήματα.

Από κει και πέρα η ακριβής μορφή της καμπύλης (αν τέμνει τους άξονες και σε ποια σημεία, το άνοιγμά της…) καθορίζονται από τους άλλους συντελεστές (β και γ).

Ας δούμε πώς τα παραπάνω βρίσκουν εφαρμογή σε μια κατακόρυφη βολή.

 

Εφαρμογή:

Από ορισμένο ύψος h από το έδαφος, εκτοξεύεται κατακόρυφα προς τα πάνω ένα μικρό σώμα. Ζητήσαμε από τρεις μαθητές, να χαράξουν την γραφική παράσταση της θέσης του σώματος, σε συνάρτηση με το χρόνο (y-t), μέχρι κάποια στιγμή t1. Οι μαθητές, χάραξαν τις παρακάτω γραφικές παραστάσεις (προσεγγίζουν παραβολές):

 

Ποιος ή ποιοι μαθητές χάραξαν σωστά την καμπύλη;

Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

Απάντηση:

ή

Σάββατο 18 Δεκεμβρίου 2021

Μια κατακόρυφη βολή, πάνω-κάτω!

 

Από ένα σημείο Ο σε ύψος Η, εκτοξεύεται σε μια στιγμή t0=0, κατακόρυφα προς τα πάνω μια μπάλα, με αρχική ταχύτητα μέτρου υ0=10m/s.

i)   Να πάρετε στο σχήμα μια θέση Α που η μπάλα ανεβαίνει, τη θέση Β στο μέγιστο ύψος και μια θέση Γ, όπου η μπάλα κατεβαίνει και να σχεδιάσετε την επιτάχυνση της μπάλας και στις τρεις παραπάνω θέσεις.

ii)  Θέλοντας να μελετήσουμε την κίνηση της μπάλας παίρνουμε έναν κατακόρυφο άξονα με αρχή το σημείο Ο και θετική φορά προς τα πάνω. Με βάση τον άξονα αυτό να δώσετε τις εξισώσεις σε συνάρτηση με το χρόνο της ταχύτητας και της θέσης της μπάλας (υ-t και y-t).

iii) Ποια χρονική στιγμή t1 η μπάλα βρίσκεται στο μέγιστο ύψος, στη θέση Β, και πόσο απέχει τότε από το σημείο εκτόξευσης Ο;

iv) Ποια χρονική στιγμή t2 η μπάλα επιστρέφει στο σημείο Ο και ποια η ταχύτητα επιστροφής;

v) Αν η μπάλα φτάνει στο έδαφος τη χρονική στιγμή t3=2,5s, να βρεθεί το ύψος Η του σημείου εκτόξευσης Ο, από το έδαφος;

Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας g=10m/s2.

Απάντηση:

ή


Τρίτη 14 Δεκεμβρίου 2021

Ίδια δύναμη, ίδια τελική ταχύτητα

 

Δύο σώματα Α και Β ηρεμούν σε λείο οριζόντιο επίπεδο, το ένα δίπλα στο άλλο, όπως στο σχήμα (σε κάτοψη). Στα σώματα ασκείται η ίδια δύναμη F (όχι ταυτόχρονα), με αποτέλεσμα να κινηθούν οριζόντια στην ίδια διεύθυνση και η ταχύτητά τους να μεταβάλλεται σύμφωνα με το διάγραμμα.

i) Επί πόσο χρονικό διάστημα ασκήθηκε η δύναμη σε κάθε σώμα;

Αν το σώμα Α έχει μάζα m1=4,5kg:

ii) Να υπολογιστεί η επιτάχυνση του σώματος Α τη στιγμή t1=1,5s.

iii) Ποια η θέση του σώματος Α τη χρονική στιγμή t2=6s.

iv) Να βρεθεί η μάζα m2 του Β σώματος.

v) Ποια η απόσταση μεταξύ των δύο σωμάτων τη στιγμή t2, καθώς και τη στιγμή t3=7,5s.

Απάντηση:

ή

Πέμπτη 9 Δεκεμβρίου 2021

Δυο ερωτήσεις Δυναμικής

 1) Η συνισταμένη δύναμη που ασκείται σε ένα σώμα είναι μηδενική. Ποια από τα παρακάτω διαγράμματα μπορεί να είναι σωστά και να περιγράφουν την κατάσταση;

511 

2)  Ένα σώμα βάρους 2Ν ηρεμεί όπως στα σχήματα (1) και (3) από τα παρακάτω σχήματα ή κινείται με σταθερή ταχύτητα, όπως φαίνεται στα υπόλοιπα σχήματα.

512 

i) Να σχεδιάσετε τις δυνάμεις που ασκούνται στο σώμα, σε κάθε περίπτωση.

ii) Να συγκριθούν οι δυνάμεις που ασκούν το οριζόντιο και το κεκλιμένο επίπεδο στο σώμα, στις παραπάνω περιπτώσεις.

Απάντηση:

ή

Τετάρτη 8 Δεκεμβρίου 2021

Μια ισορροπία σώματος και ένα ελατήριο

 

Ένα σώμα Σ μάζας m=2kg, ισορροπεί δεμένο στο κάτω άκρο ιδανικού ελατηρίου, το άλλο άκρο του οποίου δένεται στο ταβάνι, ενώ ταυτόχρονα στηρίζεται σε τραπέζι, όπως στο σχήμα. Στην περίπτωση αυτή το ελατήριο, με σταθερά k=100Ν/m, έχει επιμήκυνση Δℓ=15cm.

i)  Ποια δύναμη παραμορφώνει το ελατήριο και ποιο το μέτρο της.

ii)  Να σχεδιάσετε τις δυνάμεις που ασκούνται στο σώμα Σ.

iii) Να υπολογιστεί το μέτρο της δύναμης που το ελατήριο ασκεί στο σώμα Σ.

iv) Να βρεθεί η δύναμη που το σώμα Σ ασκεί στο τραπέζι.

v)  Αν κάποια στιγμή αφαιρέσουμε ακαριαία το τραπέζι που στηρίζει το σώμα Σ, ποια θα είναι η επιτάχυνση (στιγμιαία) που θα αποκτήσει το σώμα Σ;

Δίνεται g=10m/s2.

Απάντηση:

ή

Πέμπτη 2 Δεκεμβρίου 2021

Μια σφαίρα και η δύναμη από ένα νήμα.

 

Στο διπλανό σχήμα δίνεται μια σφαίρα δεμένη με νήμα, σε τρεις εκδοχές.

i)   Στην (Α) περίπτωση η σφαίρα κρέμεται στο άκρο νήματος και παραμένει ακίνητη, ενώ μέσω του νήματος της ασκούμε μια κατακόρυφη δύναμη με φορά προς τα πάνω με μέτρο F1=10Ν. Αφού σχεδιάσετε τις δυνάμεις που ασκούνται πάνω της να υπολογίσετε το βάρος της σφαίρας.

ii) Στο (Β) σχήμα η ίδια σφαίρα κινείται κατακόρυφα προς τα πάνω με σταθερή ταχύτητα υ1=2m/s. Μπορείτε να βρείτε το μέτρο της δύναμης F2.

iii) Στο σχήμα (Γ) η σφαίρα μας κινείται οριζόντια με σταθερή ταχύτητα μέτρου υ2=4m/s. Τότε:

α) Η δύναμη F4 έχει μέτρο F4=20Ν, αφού η σφαίρα έχει διπλάσια ταχύτητα από την αντίστοιχη ταχύτητα υ1 στην κατακόρυφη κίνηση.

β) Στη σφαίρα ασκούνται τρεις δυνάμεις, οι F3 και F4, όπως έχουν σημειωθεί στο σχήμα και το βάρος, κατακόρυφο με φορά προς τα κάτω.

Χαρακτηρίστε τις παραπάνω προτάσεις ως σωστές ή λανθασμένες.

γ) Για τα μέτρα των δυνάμεων F3 και F4 ισχύει:

γ1) F3=10Ν και F2=0,   γ2) F3=0Ν και F2=10Ν,    γ3) F3=10Ν και F2=20Ν.

Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας, θεωρώντας αμελητέα την αντίσταση του αέρα.

Απάντηση:

ή