Παραβιάζεται η αρχή διατήρησης της ενέργειας;

 

Ένα σώμα Α μάζας m=5kg, ηρεμεί πάνω σε μια σανίδα Σ μάζας Μ=10kg, η οποία είναι ακίνητη πάνω σε ένα λείο οριζόντιο επίπεδο. Σε μια στιγμή ασκούμε στην σανίδα μια σταθερή οριζόντια δύναμη μέτρου F=20Ν, όπως στο σχήμα. Δίνεται ο συντελεστής τριβής ολίσθησης μεταξύ του σώματος  Α και σανίδας μ=0,2 και ότι το μήκος της σανίδας είναι αρκετά μεγάλο ώστε το σώμα Α να μην την εγκαταλείπει στη διάρκεια του πειράματος, ενώ g=10m/s².

Α) Ένας μαθητής προβλέπει ότι το σώμα Α θα ολισθήσει πάνω στη σανίδα. Για να εξετάσουμε αν η πρόβλεψή του αυτή, είναι σωστή, ας υποθέσουμε ότι ισχύει η πρόβλεψη αυτή και ας απαντήσουμε στα παρακάτω ερωτήματα.

i) Ποια επιτάχυνση αποκτά κάθε σώμα;

ii) Να υπολογιστούν οι ταχύτητες και οι μετατοπίσεις των σωμάτων σε χρονικό διάστημα Δt=t=1s.

iii) Μήπως παραβιάζεται η αρχή διατήρησης της ενέργειας με τα παραπάνω αποτελέσματα;

Β) Να εξετάσετε ακόμη αν η πρόβλεψη του μαθητή είναι σωστή, αν η δύναμη είχε μέτρο F₁=60Ν, δίνοντας απαντήσεις στα παραπάνω υποερωτήματα.

Απάντηση:

ή

Παραβιάζεται η αρχή διατήρησης της ενέργειας;

Παραβιάζεται η αρχή διατήρησης της ενέργειας;

Το σώμα τραβά την ανηφόρα

 

Ένα σώμα μάζας m ηρεμεί στο σημείο Α ενός λείου οριζοντίου επιπέδου. Σε μια στιγμή δέχεται την επίδραση μιας σταθερής οριζόντιας δύναμης μέτρου F=10Ν με αποτέλεσμα μετά από μετατόπιση x₁=1,6m να φτάνει στη βάση Ο ενός λείου κεκλιμένου επιπέδου, έχοντας ταχύτητα μέτρου υ_ο=4m/s.

i)  Να βρεθεί η μάζα του σώματος.

ii)  Έχουμε διαμορφώσει την διαδρομή στην κορυφή Ο, με τέτοιο τρόπο, ώστε το σώμα να περάσει ομαλά στο κεκλιμένο επίπεδο, χωρίς καμιά δυσκολία, οπότε συνεχίζει την κίνησή του σε αυτό με την επίδραση της ίδιας δύναμης F. Το κεκλιμένο επίπεδο σχηματίζει με την οριζόντια διεύθυνση γωνία θ, όπου ημθ=0,6 και συνθ=0,8.

α) Η κίνηση στο κεκλιμένο επίπεδο είναι επιταχυνόμενη ή επιβραδυνόμενη;

β) Να υπολογίσετε την ταχύτητα του σώματος, τη στιγμή που περνά από το σημείο Γ, όπου (ΟΓ)=3m.

γ) Να υπολογιστεί η μηχανική ενέργεια του σώματος στη θέση Γ, θεωρώντας μηδενική την αρχική του ενέργεια στη θέση Α.

δ) Πόση ενέργεια έχει μεταφερθεί στο σώμα, μέσω του έργου της δύναμης F, στη διαδρομή από την θέση Α, μέχρι τη θέση Γ;

iii) Να υπολογισθεί η μέγιστη δυναμική ενέργεια που αποκτά το σώμα, στη συνέχεια της κίνησής του.

Δίνεται g=10m/s².

Απάντηση:

ή

Το σώμα τραβά την ανηφόρα

Το σώμα τραβά την ανηφόρα

Η κίνηση πάνω σε μια σανίδα

Μια σανίδα μήκους l=4m και μάζας Μ=4kg ηρεμεί σε ένα λείο κεκλιμένο επίπεδο, κλίσεως θ=30°, δεμένη στο άκρο νήματος, παράλληλου προς το επίπεδο. Τοποθετούμε στο πάνω άκρο της Α ένα μικρό σώμα Σ, μάζας m=1kg, το οποίο ολισθαίνει πάνω στη σανίδα και μετά από λίγο φτάνει στο άλλο της άκρο Γ, με ταχύτητα υ₁=4m/s.

i)  Να βρεθεί το μέτρο της τριβής ολίσθησης που ασκείται στο σώμα Σ, κατά την κίνησή του, πάνω στη σανίδα.

ii)  Να υπολογιστεί η τάση του νήματος που συγκρατεί τη σανίδα, κατά τη διάρκεια της κίνησης του σώματος Σ.

iii) Αν λίγο πριν φτάσει το σώμα Σ στο άκρο της σανίδας, κόψουμε το νήμα, ποια επιτάχυνση θα αποκτήσει η σανίδα, αμέσως μετά;

Δίνεται g=10m/s², ημθ = ½ και συνθ=√3/2

Απάντηση:

ή

 Η κίνηση πάνω σε μια σανίδα

 Η κίνηση πάνω σε μια σανίδα

Η άνοδος και η κάθοδος σε ένα κεκλιμένο επίπεδο

 

Ένα σώμα Σ μάζας 0,2kg και αμελητέων διαστάσεων, εκτοξεύεται από την βάση ενός κεκλιμένου επιπέδου, θέση Α, με αρχική ταχύτητα υ₀=3m/s, οπότε ανέρχεται κατά μήκος του  επιπέδου και σταματά στην θέση Γ, η οποία απέχει κατακόρυφη απόσταση h=0,4m από το οριζόντιο επίπεδο που περνά από το Α.

i) Να υπολογιστεί η αρχική κινητική ενέργεια του σώματος Σ.

ii) Να υπολογιστεί το έργο του βάρους κατά την μετακίνηση του σώματος Σ από το Α στο Γ.

iii) Να εξετάσετε αν το κεκλιμένο επίπεδο είναι ή όχι λείο. Στην περίπτωση που ασκείται δύναμη τριβής στο σώμα, να υπολογιστεί το έργο της για την παραπάνω κίνηση.

iv) Με ποια αρχική ταχύτητα πρέπει να εκτοξεύσουμε το σώμα Σ από την θέση Γ, με φορά προς τα κάτω, για να επιστρέψει στην θέση Α με ταχύτητα μέτρου υ₂=υ₀;

Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας g=10m/s².

Απάντηση:

ή

Η άνοδος και η κάθοδος σε ένα κεκλιμένο επίπεδο

Η άνοδος και η κάθοδος σε ένα κεκλιμένο επίπεδο

Δυναμική-Μηχανική ενέργεια και έργα

  

Στο σχήμα βλέπετε ένα σώμα Σ, μάζας m=0,2kg και αμελητέων διαστάσεων, να ηρεμεί στο σημείο Γ ενός λείου κεκλιμένου επιπέδου, με την επίδραση δύναμης μέτρου F, παράλληλης προς το επίπεδο, απέχοντας απόσταση (ΑΓ)=5m, από την βάση του επιπέδου. Δίνεται για την γωνία θ, που σχηματίζει το κεκλιμένο επίπεδο με την οριζόντια διεύθυνση, ημθ=0,6 και συνθ =0,8, ενώ g=10m/s². Θεωρούμε ότι η δυναμική ενέργεια του σώματος όταν βρίσκεται στο οριζόντιο επίπεδο που περνά από το Α είναι μηδενική.

i) Να υπολογιστεί το μέτρο της δύναμης F.

ii) Να βρεθεί η μηχανική ενέργεια του σώματος στην θέση Γ.

iii) Κάποια στιγμή μεταβάλλουμε το μέτρο της δύναμης F, με αποτέλεσμα το σώμα να αρχίσει να ανέρχεται κατά μήκος του επιπέδου με μεταβλητή επιτάχυνση, οπότε μετά από λίγο περνά από το σημείο Δ, όπου (ΓΔ)=4m, έχοντας ταχύτητα υ₁=2m/s.

α) Να υπολογιστεί η μηχανική ενέργεια του σώματος στη θέση Δ.

β) Πόση ενέργεια μεταφέρθηκε στο σώμα Σ, μέσω του έργου της δύναμης F, κατά την παραπάνω μετακίνηση;

γ) Να συγκριθούν:

γ₁) Το έργο του βάρους κατά την μετακίνηση του σώματος από το Γ στο Δ, με την μεταβολή της δυναμικής ενέργειας του σώματος.

γ₂) Το έργο της δύναμης F με την μεταβολή της μηχανικής ενέργειας του σώματος, κατά την παραπάνω μετακίνηση.

Απάντηση:

ή

 Δυναμική-Μηχανική ενέργεια και έργα

Δυναμική-Μηχανική ενέργεια και έργα

Υπολογισμός έργων

 

Ένα σώμα μάζας 0,4kg κινείται σε οριζόντιο επίπεδο με το οποίο παρουσιάζει τριβή ολίσθησης Τ=1,5Ν με την επίδραση των δυνάμεων, που έχουν σημειωθεί στο διπλανό σχήμα, όπου η δύναμη F είναι σταθερή μέτρου F=2Ν, ενώ η F₁ μεταβλητή.  Το σώμα περνά από την θέση Α με ταχύτητα μέτρου υ₁=2m/s, κινούμενο προς τα δεξιά (στο σχήμα) και φτάνει στη θέση Γ, όπου (ΑΓ)=2m με ταχύτητα μέτρου υ₂=4m/s.

i)  Να υπολογιστεί η κινητική ενέργεια του σώματος στις θέσεις Α και Γ.

ii) Ποιες δυνάμεις, από αυτές του σχήματος, δεν παράγουν έργο και γιατί;

iii) Να υπολογιστεί η ενέργεια που μεταφέρεται στο σώμα, μέσω της δύναμης F, καθώς και η ενέργεια που αφαιρείται από το σώμα, μέσω έργου δύναμης.

iv) Να υπολογισθεί το έργο της μεταβλητής δύναμης F₁.

Απάντηση:

ή

Υπολογισμός έργων

Υπολογισμός έργων

Μια σύγκρουση και οι κινητικές ενέργειες

 

Μια σφαίρα Α μάζας 2kg κινείται με ταχύτητα υ₁=2m/s σε λείο οριζόντιο επίπεδο και σε μια στιγμή συγκρούεται με μια άλλη σφαίρα Β. Μετά την κρούση η σφαίρα Α έχει κινητική ενέργεια 5J.

Χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστές ή λανθασμένες, δίνοντας και σύντομες δικαιολογήσεις.

i) Η κινητική ενέργεια της σφαίρας Α αυξήθηκε.

ii) Η μεταβολή της κινητικής ενέργειας της σφαίρας Α είναι ίση με 1J.

iii) Στη διάρκεια της κρούσης στη σφαίρα Α ασκήθηκε μια δύναμη F₁, από την σφαίρα Β. Το έργο της δύναμης αυτής είναι αρνητικό.

iv)  Η αντίδραση F₂ της παραπάνω δύναμης F₁, ασκείται στην σφαίρα Β. Το έργο της F₂ στη διάρκεια της σύγκρουσης μπορεί είναι ίσο με 1J.

v) Η σφαίρα Β πριν την κρούση ήταν ακίνητη.

vi) Σε όλη τη διάρκεια της σύγκρουσης η δύναμη F₁ μπορεί να είναι αντίθετη της ταχύτητας της σφαίρας Α, όπως στο σχήμα (α).

 

vii) Στη διάρκεια της σύγκρουσης μπορεί η δύναμη F₁  να σχηματίζει με την ταχύτητα της σφαίρας Α γωνία θ, όπως στο σχήμα (β), όπου η γωνία θ είναι οξεία.

viii) Στη διάρκεια της σύγκρουσης μπορεί η δύναμη F₁  να είναι διαρκώς κάθετη στην ταχύτητα της σφαίρας Α, όπως στο σχήμα (γ).

ix) Μπορεί η δύναμη F₁ που θα ασκηθεί στη σφαίρα Α να έχει αντίθετη κατεύθυνση,  από την αρχική ταχύτητα,  όπως στο σχήμα.

Απάντηση:

ή

 Μια σύγκρουση και οι κινητικές ενέργειες

 Μια σύγκρουση και οι κινητικές ενέργειες

Κίνηση με μια πλάγια δύναμη

  

Ένα σώμα μάζας 2kg ηρεμεί σε λείο οριζόντιο επίπεδο, στην θέση Α. Σε μια στιγμή ασκείται πάνω του μια πλάγια δύναμη F, όπως στο σχήμα, με αποτέλεσμα μετά από λίγο να φτάνει στην θέση Β, έχοντας ταχύτητα 8m/s.

i) Να υπολογιστούν τα έργα των δυνάμεων που ασκούνται στο σώμα από την θέση Α, μέχρι τη θέση Β.

ii) Αν η δύναμη F έχει σταθερό μέτρο F=5Ν, ενώ η απόσταση μεταξύ των θέσεων Α και Β είναι x=20m, να υπολογιστούν η οριζόντια και η κατακόρυφη συνιστώσα της δύναμης F. Πόσο είναι το μέτρο της κάθετης αντίδρασης του επιπέδου, η οποία ασκείται στο σώμα;

iii) Επαναλαμβάνουμε το πείραμα, ενώ κρατάμε σταθερό το μέτρο της δύναμης F, αλλά μπορούμε να μεταβάλλουμε την κατεύθυνσή της. Ποια κατεύθυνση πρέπει να επιλέξουμε, αν θέλουμε το σώμα να μεταβαίνει από το Α στο Β, στον ελάχιστο δυνατό χρόνο; Να βρεθεί το ελάχιστο χρονικό διάστημα που μπορούμε πετύχουμε, όταν μετακινούμε το σώμα από το Α στο Β, με την επίδραση της δύναμης F.

iv) Στην παραπάνω περίπτωση, με ποια κινητική ενέργεια το σώμα θα φτάσει στην θέση Β;

Δίνεται g=10m/s².

Απάντηση:

ή

 Κίνηση με μια πλάγια δύναμη

 Κίνηση με μια πλάγια δύναμη

Οι ταχύτητες σε δύο διαφορετικές διαδρομές

 

Δυο μικρές σφαίρες Α και Γ, συγκρατούνται στις θέσεις Α_o και Γ_o αντίστοιχα, σε ύψος h=1,25m από το έδαφος.

i)  Αφήνουμε την Α σφαίρα να πέσει ελεύθερα. Να βρεθεί η ταχύτητά της υ₁, στη θέση Α₁ όπου απέχει κατά h₁= 0,45m από το έδαφος.

ii) Αφήνουμε την Γ σφαίρα να κινηθεί, ενώ αυτή είναι δεμένη στο άκρο νήματος, το άλλο άκρο του οποίου έχει δεθεί σε σταθερό σημείο Ο. Η σφαίρα διαγράφει τμήμα κύκλου και φτάνει στη θέση Γ₁, η οποία βρίσκεται σε ύψος h₁, έχοντας ταχύτητα μέτρου u₁. Να υπολογισθεί το μέτρο της ταχύτητας αυτής.

iii) Με ποια ταχύτητα η Α σφαίρα φτάνει στο έδαφος;

iv) Αν στη θέση Γ₁ το νήμα που συγκρατεί τη σφαίρα Γ κόβεται, να βρεθεί το μέτρο της ταχύτητας με την οποία η σφαίρα αυτή θα φτάσει στο έδαφος.

Δίνεται g=10m/s², ενώ στην διάρκεια της κυκλικής κίνησης η ταχύτητα της σφαίρας, είναι εφαπτόμενη της τροχιάς που διαγράφει.

Απάντηση:

ή

 Οι ταχύτητες σε  δύο διαφορετικές διαδρομές

 Οι ταχύτητες σε  δύο διαφορετικές διαδρομές

Η μηχανική ενέργεια και η διατήρησή της

  

Ένα σώμα μάζας m=0,2kg ηρεμεί στο έδαφος, στο σημείο Α, όπου θεωρούμε μηδενική την δυναμική του ενέργεια. Σε μια στιγμή, ασκείται πάνω του μια μεταβλητή κατακόρυφη δύναμη F, με αποτέλεσμα να κινηθεί κατακόρυφα και μετά από λίγο να φτάνει σε μια θέση Γ, σε ύψος h₁=4,2m από το έδαφος, με ταχύτητα υ₁=4m/s.

Αν η αντίσταση του αέρα θεωρηθεί αμελητέα:

i)  Να υπολογισθεί το έργο της δύναμης F, από την θέση Α, μέχρι τη θέση Γ.

ii) Να βρεθεί η μηχανική ενέργεια του σώματος στην θέση Γ.

Στην θέση Γ, η δύναμη F καταργείται και πλέον το σώμα κινείται με την επίδραση μόνο του βάρους.

iii) Ποιο το μέγιστο ύψος από το έδαφος, στο οποίο φτάνει το σώμα;

iv) Με ποια ταχύτητα το σώμα επιστρέφει στο έδαφος, στη θέση Α;

v)  Αν η αντίσταση του αέρα δεν θεωρηθεί αμελητέα, και το σώμα φτάνει στο σημείο Γ με την ίδια ταχύτητα, όπως και πριν, σε ποιο ύψος από το έδαφος θα έφτανε, αν η αντίσταση του αέρα θεωρηθεί  σταθερή με μέτρο F₁=0,1mg (μια μέση τιμή) και κατεύθυνση αντίθετη της ταχύτητας του σώματος.

Δίνεται g=10m/s².

Απάντηση:

ή

 Η μηχανική ενέργεια και η διατήρησή της

 Η μηχανική ενέργεια και η διατήρησή της

Η μηχανική ενέργεια και η αύξησή της

 

Ένα σώμα μάζας 2kg ανεβαίνει κατά μήκος ενός κεκλιμένου επιπέδου, κλίσεως θ=30°, με την επίδραση μιας δύναμης F, παράλληλης με το επίπεδο. Σε μια στιγμή t₁, το σώμα περνά από την θέση Α, με ταχύτητα υ₁=1m/s, απέχοντας απόσταση (ΟΑ)=5m από την βάση του κεκλιμένου επιπέδου.

Θεωρείστε την δυναμική ενέργεια του σώματος στο οριζόντιο επίπεδο μηδενική, ημθ=1/2 και συνθ=√3/2, ενώ g=10m/s².

i)   Να υπολογιστεί η μηχανική ενέργεια του σώματος  στη θέση Α.

ii)  Να υπολογιστεί το έργο της δύναμης F, κατά την μετακίνηση του σώματος από την θέση Α στην θέση Β, όπου (ΑΒ)=15m, αν στη διάρκεια της κίνησης αυτής η δύναμη έχει  σταθερό μέτρο F=10,2Ν

iii) Να υπολογιστεί το έργο του βάρους κατά την παραπάνω κίνηση. Να βρεθεί η αύξηση της δυναμικής ενέργειας του σώματος, μεταξύ των θέσεων Α και Β και να συγκριθεί με το έργο του βάρους.

iv) Πόση είναι η μηχανική ενέργεια του σώματος στη θέση Β; Να συγκριθεί η μεταβολή της μηχανικής ενέργειας μεταξύ των θέσεων Α και Β, με το έργο της ασκούμενης δύναμης F.

Απάντηση:

ή

 Η μηχανική ενέργεια και η αύξησή της

 Η μηχανική ενέργεια και η αύξησή της

Έργα δυνάμεων και κινητική ενέργεια σώματος

  

Ένα σώμα μάζας 4kg ηρεμεί σε οριζόντιο επίπεδο, στη θέση Α. Κάποια στιγμή ασκείται πάνω του μια σταθερή οριζόντια δύναμη, μέτρου F=24Ν, με αποτέλεσμα να κινηθεί και μετά από λίγο να περάσει από μια θέση Β, όπου (ΑΒ)=8m, με ταχύτητα μέτρου υ₁=4m/s.

i)  Να υπολογιστεί η ενέργεια που μεταφέρεται στο σώμα, μέσω του έργου της ασκούμενης δύναμης F.

ii) Τι ποσοστό της παραπάνω ενέργειας έχει παραμείνει στο σώμα με τη μορφή της κινητικής ενέργειας.

iii) Αν το παραπάνω ποσοστό είναι μικρότερο από 100%, σημαίνει ότι στο σώμα ασκήθηκε και κάποια άλλη δύναμη, στη διάρκεια της κίνησης. Να υπολογιστεί το έργο της άγνωστης αυτής δύναμης. Μπορείτε να σχεδιάσετε στο σχήμα την άγνωστη αυτή δύναμη;

iv) Αν η παραπάνω δύναμη είναι η τριβή ολίσθησης, να υπολογιστεί ο συντελεστής τριβής μεταξύ σώματος και επιπέδου.

v) Αν στη θέση Β, παύει να ασκείται στο σώμα η δύναμη F, να υπολογιστεί η κινητική ενέργεια του σώματος μετά από νέα μετατόπισή του κατά Δx₁=1m.

Δίνεται g=10m/s².

Απάντηση:

ή

 Έργα δυνάμεων και κινητική ενέργεια σώματος

 Έργα δυνάμεων και κινητική ενέργεια σώματος

Η κίνηση σε δύο επίπεδα, το πρώτο λείο

  

Ένα σώμα ηρεμεί στο σημείο Α, ενός λείου οριζοντίου επιπέδου. Σε μια στιγμή στο σώμα ασκείται μια σταθερή οριζόντια δύναμη F, με αποτέλεσμα μετά από λίγο να περνά από μια θέση Γ, έχοντας διανύσει απόσταση d=4m, με κινητική ενέργεια 12J. Μετά τη θέση Γ, το επίπεδο είναι τραχύ, με αποτέλεσμα αφού διανύσει απόσταση ξανά d, το σώμα να σταματά στη θέση Δ, λόγω τριβών.

i)   Να βρεθεί το μέτρο της δύναμης F.

ii)  Να υπολογισθεί η συνολική ενέργεια η οποία μεταφέρεται στο σώμα, μέσω της δύναμης F, κατά την κίνηση του σώματος.

iii) Υποστηρίζεται η άποψη ότι το σώμα έχει την μέγιστη κινητική ενέργεια στη θέση Γ. Συμφωνείτε ή διαφωνείτε με την άποψη αυτή; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

iv) Να υπολογιστεί το μέτρο της τριβής ολίσθησης που ασκείται στο σώμα, στο δεύτερο επίπεδο. Ποιο το μέτρο της τριβής στη θέση Δ, μόλις το σώμα σταματά την κίνησή του;

Απάντηση:

ή

 Η κίνηση σε δύο επίπεδα, το πρώτο λείο

 Η κίνηση σε δύο επίπεδα, το πρώτο λείο

Ας ελέγξουμε για τριβές και ενέργειες

 

Ένα σώμα μάζας 2kg σύρεται σε οριζόντιο επίπεδο με την επίδραση μιας σταθερής οριζόντιας δύναμης μέτρου F=10Ν. Σε μια στιγμή t₀=0, το σώμα περνά από μια θέση Α, με ταχύτητα υ_ο=0,5m/s, ενώ τη στιγμή t₁=5s έχει αποκτήσει ταχύτητα  ίδιας κατεύθυνσης και μέτρου υ₁=1,5m/s.

i)  Να αποδειχθεί ότι το επίπεδο δεν είναι λείο και να υπολογιστεί το μέτρο της ασκούμενης στο σώμα τριβής ολίσθησης, θεωρώντας την σταθερή.

ii) Να υπολογιστεί το έργο της δύναμης F, στο παραπάνω χρονικό διάστημα.

iii) Να επιβεβαιώσετε την ισχύ του θεωρήματος μεταβολής της κινητικής ενέργειας του σώματος, για την παραπάνω μετακίνηση το σώματος.

Απόδειξη:

ή

 Ας ελέγξουμε για τριβές και ενέργειες

 Ας ελέγξουμε για τριβές και ενέργειες