Η άνοδος και η κάθοδος σε ένα κεκλιμένο επίπεδο

 

Ένα σώμα Σ μάζας 0,2kg και αμελητέων διαστάσεων, εκτοξεύεται από την βάση ενός κεκλιμένου επιπέδου, θέση Α, με αρχική ταχύτητα υ₀=3m/s, οπότε ανέρχεται κατά μήκος του  επιπέδου και σταματά στην θέση Γ, η οποία απέχει κατακόρυφη απόσταση h=0,4m από το οριζόντιο επίπεδο που περνά από το Α.

i) Να υπολογιστεί η αρχική κινητική ενέργεια του σώματος Σ.

ii) Να υπολογιστεί το έργο του βάρους κατά την μετακίνηση του σώματος Σ από το Α στο Γ.

iii) Να εξετάσετε αν το κεκλιμένο επίπεδο είναι ή όχι λείο. Στην περίπτωση που ασκείται δύναμη τριβής στο σώμα, να υπολογιστεί το έργο της για την παραπάνω κίνηση.

iv) Με ποια αρχική ταχύτητα πρέπει να εκτοξεύσουμε το σώμα Σ από την θέση Γ, με φορά προς τα κάτω, για να επιστρέψει στην θέση Α με ταχύτητα μέτρου υ₂=υ₀;

Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας g=10m/s².

Απάντηση:

ή

Η άνοδος και η κάθοδος σε ένα κεκλιμένο επίπεδο

Η άνοδος και η κάθοδος σε ένα κεκλιμένο επίπεδο

Δυναμική-Μηχανική ενέργεια και έργα

  

Στο σχήμα βλέπετε ένα σώμα Σ, μάζας m=0,2kg και αμελητέων διαστάσεων, να ηρεμεί στο σημείο Γ ενός λείου κεκλιμένου επιπέδου, με την επίδραση δύναμης μέτρου F, παράλληλης προς το επίπεδο, απέχοντας απόσταση (ΑΓ)=5m, από την βάση του επιπέδου. Δίνεται για την γωνία θ, που σχηματίζει το κεκλιμένο επίπεδο με την οριζόντια διεύθυνση, ημθ=0,6 και συνθ =0,8, ενώ g=10m/s². Θεωρούμε ότι η δυναμική ενέργεια του σώματος όταν βρίσκεται στο οριζόντιο επίπεδο που περνά από το Α είναι μηδενική.

i) Να υπολογιστεί το μέτρο της δύναμης F.

ii) Να βρεθεί η μηχανική ενέργεια του σώματος στην θέση Γ.

iii) Κάποια στιγμή μεταβάλλουμε το μέτρο της δύναμης F, με αποτέλεσμα το σώμα να αρχίσει να ανέρχεται κατά μήκος του επιπέδου με μεταβλητή επιτάχυνση, οπότε μετά από λίγο περνά από το σημείο Δ, όπου (ΓΔ)=4m, έχοντας ταχύτητα υ₁=2m/s.

α) Να υπολογιστεί η μηχανική ενέργεια του σώματος στη θέση Δ.

β) Πόση ενέργεια μεταφέρθηκε στο σώμα Σ, μέσω του έργου της δύναμης F, κατά την παραπάνω μετακίνηση;

γ) Να συγκριθούν:

γ₁) Το έργο του βάρους κατά την μετακίνηση του σώματος από το Γ στο Δ, με την μεταβολή της δυναμικής ενέργειας του σώματος.

γ₂) Το έργο της δύναμης F με την μεταβολή της μηχανικής ενέργειας του σώματος, κατά την παραπάνω μετακίνηση.

Απάντηση:

ή

 Δυναμική-Μηχανική ενέργεια και έργα

Δυναμική-Μηχανική ενέργεια και έργα

Υπολογισμός έργων

 

Ένα σώμα μάζας 0,4kg κινείται σε οριζόντιο επίπεδο με το οποίο παρουσιάζει τριβή ολίσθησης Τ=1,5Ν με την επίδραση των δυνάμεων, που έχουν σημειωθεί στο διπλανό σχήμα, όπου η δύναμη F είναι σταθερή μέτρου F=2Ν, ενώ η F₁ μεταβλητή.  Το σώμα περνά από την θέση Α με ταχύτητα μέτρου υ₁=2m/s, κινούμενο προς τα δεξιά (στο σχήμα) και φτάνει στη θέση Γ, όπου (ΑΓ)=2m με ταχύτητα μέτρου υ₂=4m/s.

i)  Να υπολογιστεί η κινητική ενέργεια του σώματος στις θέσεις Α και Γ.

ii) Ποιες δυνάμεις, από αυτές του σχήματος, δεν παράγουν έργο και γιατί;

iii) Να υπολογιστεί η ενέργεια που μεταφέρεται στο σώμα, μέσω της δύναμης F, καθώς και η ενέργεια που αφαιρείται από το σώμα, μέσω έργου δύναμης.

iv) Να υπολογισθεί το έργο της μεταβλητής δύναμης F₁.

Απάντηση:

ή

Υπολογισμός έργων

Υπολογισμός έργων

Ένα σώμα σε κεκλιμένο επίπεδο

 

Ένα σώμα μάζας 2kg ηρεμεί σε κεκλιμένο επίπεδο, με γωνία κλίσης θ, όπου ημθ=0,6 και συνθ=0,8.

i) Να σχεδιαστούν οι δυνάμεις που ασκούνται στο σώμα. Αφού αναλύσετε το βάρος σε 2 συνιστώσες, μια παράλληλη στο επίπεδο και μια κάθετη σε αυτό, να υπολογίσετε τα μέτρα όλων των δυνάμεων που ασκούνται στο σώμα

ii) Ποιος ο ελάχιστος συντελεστής τριβής ολίσθησης μεταξύ σώματος και επιπέδου για την παραπάνω ισορροπία.

iii) Ποια η ελάχιστη δύναμη F, παράλληλη στο επίπεδο η οποία πρέπει να ασκηθεί στο σώμα για να κινηθεί, αν ο συντελεστής τριβής ολίσθησης μεταξύ σώματος και επιπέδου είναι μ=0,8. 

iv) Αν η παραπάνω δύναμη ασκηθεί στο σώμα, αλλά με διεύθυνση κάθετη στο επίπεδο και φορά προς τα πάνω, να εξετάσετε αν το σώμα θα ολισθήσει ή όχι.

Δίνεται g= 10 m/s², ενώ η οριακή τριβή είναι πρακτικά ίση με την τριβή ολίσθησης.

Απάντηση:

ή

 Ένα σώμα σε κεκλιμένο επίπεδο

 

Ένα σώμα σε κεκλιμένο επίπεδο

Με οριζόντια ή πλάγια δύναμη;

 

Ένα σώμα ηρεμεί σε οριζόντιο επίπεδο, όταν δέχεται την επίδραση οριζόντιας δύναμης με μέτρο F=mg, όπου m η μάζα του σώματος, όπως στο πρώτο σχήμα. Τότε το σώμα κινείται προς τα δεξιά, ενώ πάνω του ασκείται τριβή ολίσθησης μέτρου Τ₁. Αν η ίδια δύναμη (του ίδιου μέτρου) ασκηθεί στο σώμα σχηματίζοντας με την οριζόντια διεύθυνση γωνία θ (ημθ=0,6 και συνθ=0,8), όπως στο 2^ο σχήμα, τότε θα δεχτεί δύναμη τριβής μέτρου Τ₂.

i)  Για τα μέτρα των δύο παραπάνω  τριβών, ισχύει:

α) Τ₁ < Τ₂,     β) Τ₁ = Τ₂,    γ) Τ₁ > Τ₂.

ii) Αν ο συντελεστής τριβής μεταξύ σώματος και επιπέδου είναι μ=0,5 ‎και α₁ η επιτάχυνση που αποκτά το σώμα στην πρώτη περίπτωση, ενώ α₂ η αντίστοιχη επιτάχυνση στην δεύτερη περίπτωση, θα ισχύει:

α) α₁ < α₂,        β) α₁ = α₂,      γ) α₁ > α₂.

iii) Αν σε χρονικό διάστημα t, το σώμα με την επίδραση της οριζόντιας δύναμης μετατοπίζεται κατά x₁, ενώ στον ίδιο χρόνο με την επίδραση της πλάγιας δύναμης μετατοπίζεται κατά x₂, ισχύει:

α) x₂ < 1,1x₁,     β) x₂ = 1,1x₁,         γ) x₂ > 1,1x₁,    

Απάντηση:

ή

Με οριζόντια ή πλάγια δύναμη;

Με οριζόντια ή πλάγια δύναμη;

Η τριβή από οριζόντια και πλάγια σανίδα

 

Ένα σώμα Σ, μάζας m=1kg εκτοξεύεται με αρχική ταχύτητα υ_ο=4m/s, πάνω σε μια οριζόντια σανίδα, καρφωμένη  στο έδαφος, από σημείο κοντά στο άκρο της Α. Το σώμα σταματά λόγω τριβών αφού διανύσει διάστημα 1,2m, πάνω στη σανίδα.

i)   Να αποδείξετε ότι μεταξύ του σώματος Σ και της σανίδας αναπτύχθηκε τριβή με συντελεστή τριβής ολίσθησης μ=2/3.

ii)  Ανασηκώνουμε το άκρο Γ της σανίδας και με την βοήθεια στηρίγματος την σταθεροποιούμε όπως στο κάτω σχήμα, ώστε να σχηματίζει με το οριζόντιο επίπεδο γωνία θ, όπου ημθ=0,4 και συνθ=0,9. Εκτοξεύουμε από το άκρο Α, το ίδιο σώμα με αρχική ταχύτητα υ_ο=4m/s, παράλληλη προς την  σανίδα και φορά προς τα πάνω.

α) Να υπολογίσετε το μέτρο της τριβής ολίσθησης που ασκείται στο σώμα.

β) Να βρεθεί η επιτάχυνση του σώματος.

γ) Πόση απόσταση διανύει το σώμα, κατά την προς τα πάνω κίνησή του;

δ) Να εξετάσετε αν το σώμα επιστρέψει στο άκρο Α της  σανίδας.

Δίνεται g=10m/s², ενώ η οριακή τριβή θεωρείται ίση με την τριβή ολίσθησης.

Απάντηση:

ή

 Η τριβή από οριζόντια και πλάγια σανίδα

Η τριβή από οριζόντια και πλάγια σανίδα

Κατεβάζοντας ένα κιβώτιο με μπάζα

 

Στην ταράτσα ενός σπιτιού με ύψος h=3,2m έχουμε ένα κιβώτιο μάζας 10kg.  Μπορούμε να το αφήσουμε να πέσει ελεύθερα, από την πλευρά Γ του οικήματος και να φτάσει στο έδαφος.

i) Με ποια ταχύτητα το κιβώτιο φτάνει στο έδαφος;

Εναλλακτικά, μπορούμε να δημιουργήσουμε ένα κεκλιμένο επίπεδο, με την χρήση μιας λείας σανίδας, η οποία σχηματίζει γωνία θ με το έδαφος, από την αριστερή πλευρά, όπως στο σχήμα.

ii) Ένας μαθητής υποστηρίζει ότι αν το κιβώτιο αφεθεί να κινηθεί κατά μήκος της σανίδας θα φτάσει με μικρότερη ταχύτητα στο έδαφος, αφού θα κινηθεί με μικρότερη επιτάχυνση. Να εξετάσετε αν είναι σωστή η θέση αυτή.

iii) Αν μέσα στο κιβώτιο τοποθετήσουμε μπάζα, με αποτέλεσμα να βαρύνει, μήπως φτάσει πιο σύντομα στο έδαφος, αν κινηθεί κατά μήκος της σανίδας;

iv) Η σανίδα αντέχει αν δεχτεί κάθετη δύναμη στο μέσον της, με μέτρο μέχρι F=300Ν (με άσκηση μεγαλύτερη δύναμης η σανίδα σπάει). Πόση είναι η μέγιστη μάζα των μπάζων που μπορούμε να τοποθετήσουμε στο κιβώτιο, ώστε όταν κινηθεί κατά μήκος της σανίδας, να μην υπάρχει κίνδυνος αυτή να σπάσει;

Δίνεται g=10m/s², ενώ για την γωνία θ που σχηματίζει η σανίδα με το έδαφος ημθ=0,6 και συνθ=0,8.

Απάντηση:

ή

 Κατεβάζοντας ένα κιβώτιο με μπάζα

 Κατεβάζοντας ένα κιβώτιο με μπάζα

Δυο δυνάμεις επιταχύνουν ένα ‎σώμα

 

Ένα σώμα μάζας 8kg ηρεμεί σε ένα λείο οριζόντιο επίπεδο, στη θέση Ο, την οποία παίρνουμε σαν αρχή ενός ορθογωνίου συστήματος αξόνων x,y. Σε μια στιγμή στο σώμα ασκούνται δύο σταθερές οριζόντιες δυνάμεις, όπως στο σχήμα, όπου η δύναμη F₁ σχηματίζει με τον άξονα x γωνία θ, ενώ η F₂ έχει την διεύθυνση του άξονα y. Μετά από λίγο το σώμα περνά από τη θέση Α του άξονα x, έχοντας μετατοπισθεί κατά 4m, με ταχύτητα μέτρου 2m/s.

i)  Να  σχεδιάσετε την συνισταμένη δύναμη που ασκείται στο σώμα, δικαιολογώντας την κατεύθυνσή της και να εξηγήσετε γιατί η κίνηση του σώματος είναι ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη.

ii) Να υπολογιστεί η επιτάχυνση του σώματος.

iii) Αφού υπολογιστεί η δύναμη που επιταχύνει το σώμα, να βρείτε το μέτρο της δύναμης F₁.

iv) Ποιο το μέτρο της  δύναμης F₂;

Δίνονται για την γωνία θ, ημθ=0,6 και συνθ=0,8.

Απάντηση:

ή

Δυο δυνάμεις επιταχύνουν ένα ‎σώμα

Δυο δυνάμεις επιταχύνουν ένα ‎σώμα

Δύο κατακόρυφες βολές

Από ένα σημείο Α  στο έδαφος, εκτοξεύεται κατακόρυφα τη χρονική στιγμή t₀=0 ένα βλήμα με αρχική ταχύτητα υ₀₁=40m/s. Τη στιγμή t΄=2s, από ένα άλλο σημείο  Β του εδάφους, όπου η απόσταση (ΑΒ)=20m εκτοξεύεται ένα δεύτερο βλήμα με κατακόρυφη ταχύτητα υ₀₂=35m/s.

i) Ποια χρονική στιγμή t₁ το πρώτο βλήμα φτάνει στο μέγιστο ύψος; Να υπολογιστεί το ύψος αυτό.

ii) Ποια η ταχύτητα και ποια η θέση του δεύτερου βλήματος τη στιγμή t₁;

iii) Ποιο βλήμα θα επιστρέψει πρώτο στο έδαφος;

iv) Να βρεθούν οι ταχύτητες των δύο βλημάτων και η απόσταση μεταξύ τους τη χρονική στιγμή t₂=6s.

Η αντίσταση του αέρα θεωρείται αμελητέα, ενώ g=10m/s².

Απάντηση:

ή

 Δύο κατακόρυφες βολές

Δύο κατακόρυφες βολές

Από την ταχύτητα, στη μάζα του σώματος

Δυο σώματα Α και Β  ηρεμούν σε λείο οριζόντιο επίπεδο, ενώ  συνδέονται με ένα αβαρές και μη εκτατό νήμα. Σε μια στιγμή t₀=0 ασκούμε στο σώμα Α μια σταθερή οριζόντια δύναμη F, η οποία έχει την διεύθυνση του νήματος, οπότε το σύστημα αρχίζει να κινείται προς τα δεξιά, όπως στο σχήμα. Τη χρονική στιγμή t₁=2s, το νήμα που συνδέει τα δυο σώματα κόβεται, ενώ η δύναμη F, συνεχίζει να επιταχύνει μόνο το Α  σώμα, το οποίο έχει μάζα Μ=3kg. Στο διάγραμμα βλέπουμε πώς μεταβάλλεται η ταχύτητα του σώματος Α σε συνάρτηση με το χρόνο.

i) Να υπολογιστεί η επιτάχυνση του Α σώματος από 0-2s και από 2s-4s.

ii) Να βρεθεί το μέτρο της ασκούμενης δύναμης F.

iii) Πόση είναι η μάζα m του Β σώματος;

iv) Να γίνει η γραφική παράσταση υ_Β=f(t), της ταχύτητας του Β σώματος σε συνάρτηση με το χρόνο για το χρονικό διάστημα 0-6s.

Απάντηση:

ή

Από την ταχύτητα, στη μάζα του σώματος

Από την ταχύτητα, στη μάζα του σώματος

Σπρώχνοντας δύο κιβώτια

 

Ένα παιδί σπρώχνει σε οριζόντιο επίπεδο δύο μεγάλα κιβώτια Α και Β, τα οποία βρίσκονται σε επαφή, ασκώντας σταθερή οριζόντια δύναμη F, πρώτα στο κιβώτιο Α, όπως στο πάνω σχήμα, οπότε το Α αποκτά επιτάχυνση μέτρου α1. Αν την ίδια οριζόντια δύναμη την ασκήσει στο Β κιβώτιο, όπως στο κάτω σχήμα, τότε αυτό αποκτά επιτάχυνση μέτρου α2. Δίνεται ότι το Α κιβώτιο έχει μεγαλύτερη μάζα από το Β, ενώ τα κιβώτια δεν παρουσιάζουν τριβές με το οριζόντιο επίπεδο.

i) Για τα μέτρα των δύο παραπάνω επιταχύνσεων ισχύει:

α) α1 < α2,       ‎ β) α1= α2,         γ) α1 > α2.

ii)  Αν F1 η δύναμη που ασκεί το κιβώτιο Α στο Β στην πάνω εικόνα  και F2 η αντίστοιχη δύναμη στην κάτω, τότε:

 α) Να σχεδιάσετε στο σχήμα τις δυνάμεις F1 και F2.

 β) Για τα μέτρα των παραπάνω δυνάμεων θα ισχύει:

β1) F1 < F2,         β2) F1 = F2,          β3) F1 > F2.

Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.

Απάντηση:

ή

Σπρώχνοντας δύο κιβώτια

Σπρώχνοντας δύο κιβώτια

Στην καρότσα ενός φορτηγού.

Ένα σώμα Σ μάζας 5kg μεταφέρεται στην λεία καρότσα ενός φορτηγού το οποίο κινείται σε ευθύγραμμο οριζόντιο δρόμο με σταθερή επιτάχυνση α=0,8m/s². Το σώμα είναι δεμένο στο άκρο οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς k=40Ν/m, το οποίο έχει επιμηκυνθεί κατά Δl=0,15m και στο άκρο οριζόντιου νήματος, όπως στο σχήμα.

i)  Να υπολογίσετε το μέτρο της δύναμης που το  ελατήριο ασκεί στο σώμα Σ, καθώς την τάση του νήματος.

ii) Ποια τα μέτρα των δύο παραπάνω δυνάμεων, αν το φορτηγό σταματήσει να επιταχύνεται, κινούμενο με σταθερή ταχύτητα;

iii) Αν το φορτηγό αυξήσει σιγά – σιγά την επιτάχυνσή του, να υπολογισθεί η μέγιστη δυνατή επιτάχυνση που μπορεί να αποκτήσει, χωρίς να μεταβληθεί το μήκος του ελατηρίου.

iv) Τι πρόκειται να συμβεί αν το φορτηγό αυξήσει την επιτάχυνσή του στην τιμή α₁=2m/s²;

Απάντηση:

ή

Στην καρότσα ενός φορτηγού.

Στην καρότσα ενός φορτηγού.