Η άνοδος και η πτώση ενός σώματος.

 

Ένα σώμα μάζας 2kg ηρεμεί στη θέση Α στο έδαφος, όπου θεωρούμε μηδενική την δυναμική ενέργεια. Σε μια στιγμή ασκούμε πάνω του μια σταθερή κατακόρυφη δύναμη με φορά προς τα πάνω, μέτρου F=25Ν, μέχρι να ανέβη το σώμα κατά y₁=4m, ερχόμενο στη θέση Γ.

i)  Να υπολογιστεί το έργο της δύναμης F, καθώς και η ταχύτητα του σώματος τη στιγμή που παύει να ασκείται στο σώμα η δύναμη.

ii) Ποιο είναι το μέγιστο ύψος στο οποίο θα φτάσει το σώμα;

iii) Με ποια ταχύτητα το σώμα επιστρέφει στο έδαφος;

iv) Να υπολογιστεί το συνολικό έργο του βάρους, από την στιγμή που ξεκινά η άνοδος, μέχρι την επιστροφή του σώματος στο έδαφος.

Δίνεται g=10m/s².

Απάντηση:

ή

 Η άνοδος και η πτώση ενός σώματος.

 Η άνοδος και η πτώση ενός σώματος.

Το έργο και η Μηχανική ενέργεια

  

Ένα σώμα μάζας m=10kg συγκρατείται στη θέση Α ενός κεκλιμένου  επιπέδου κλίσεως θ=30°. Σε μια στιγμή ασκούμε πάνω του μια σταθερή δύναμη μέτρου F=200/3 Ν, παράλληλη στο επίπεδο, με αποτέλεσμα το σώμα να κινείται κατά μήκος του επιπέδου κατά x₁=1,2m, φτάνοντας στην θέση Γ, οπότε η δύναμη καταργείται. Θεωρούμε το οριζόντιο επίπεδο που περνά από την θέση Α, ως επίπεδο μηδενικής δυναμικής ενέργειας, ενώ δίνονται g=10m/s², ημ30°= ½ και συν30°=√3/2.

i)  Να υπολογιστεί η ενέργεια που μεταφέρθηκε στο σώμα, μέσω του έργου της δύναμης F.

ii) Αφού βρείτε την ταχύτητα υ₁ του σώματος στην θέση Γ, να υπολογίσετε την μηχανική ενέργεια του σώματος στη θέση Γ.

iii) Ποια είναι η μέγιστη απόσταση από την αρχική θέση Α που θα φτάσει το σώμα κατά την άνοδό του στο επίπεδο.

iv) Με ποια ταχύτητα το σώμα επιστρέφει στην αρχική θέση Α;

Απάντηση:

ή

 Το έργο και η Μηχανική ενέργεια

 Το έργο και η Μηχανική ενέργεια

Δύο κινήσεις και τα έργα των δυνάμεων

 

Ένα σώμα μάζας 2kg ηρεμεί σε οριζόντιο επίπεδο. Σε μια στιγμή δέχεται την επίδραση δύο δυνάμεων, όπου η μία έχει μέτρο F₁=20Ν και σχηματίζει γωνία θ, με την οριζόντια διεύθυνση, ενώ η άλλη είναι οριζόντια μέτρου F₂=8Ν, όπως στο σχήμα.

i)  Αν το επίπεδο  είναι λείο, προς τα πού θα κινηθεί το σώμα. Προς τα δεξιά ή προς τα αριστερά;

ii)  Το σώμα μετακινείται κατά Δx₁=8m, μέχρι να αποκτήσει ταχύτητα υ₁=4m/s. Να υπολογίσετε τα έργα των δύο δυνάμεων, κατά τη διάρκεια της παραπάνω μετακίνησης και να εξετάσετε, με την βοήθεια των παραπάνω έργων, αν το επίπεδο είναι ή όχι λείο.

iii) Αν στην παραπάνω θέση μηδενίζεται η δύναμη F₂, να βρείτε πόσο θα πρέπει να μετατοπισθεί το σώμα, μέχρι να αποκτήσει ταχύτητα μέτρου υ₂=5m/s.

Δίνεται ημθ=0,6 και συνθ=0,8

Απάντηση:

ή

 Δύο κινήσεις και τα έργα των δυνάμεων

 Δύο κινήσεις και τα έργα των δυνάμεων

Ισορροπία και κίνηση σε κεκλιμένο επίπεδο

 

Ένα σώμα Σ ισορροπεί στο σημείο Ο ενός λείου κεκλιμένου επιπέδου, κλίσεως θ=30°, με την επίδραση δύναμης F παράλληλης στο επίπεδο, μέτρου F=5Ν, όπως στο σχήμα.

i)  Να βρεθεί η μάζα του σώματος Σ.

ii) Σε μια στιγμή t₀=0, αυξάνουμε το μέτρο της δύναμης στην τιμή F₁=6Ν. Να βρεθεί η ταχύτητα και η μετατόπιση του σώματος τη χρονική στιγμή t₁=2s.

iii) Τη στιγμή t₁ αλλάζει το μέτρο της δύναμης, με αποτέλεσμα το σώμα να σταματήσει την άνοδό του στο κεκλιμένο επίπεδο τη χρονική στιγμή t₂=3s.

α) Να υπολογιστεί το μέτρο της δύναμης F₂ στο παραπάνω διάστημα από t₁ έως t₂.

β) Ποια η μέγιστη απόσταση από την αρχική θέση Ο, στην οποία φτάνει το σώμα Σ.

Δίνεται g=10m/s², ενώ ημθ= ½ και συνθ =√3/2.

Απάντηση:

ή

  Ισορροπία και κίνηση σε κεκλιμένο επίπεδο

  Ισορροπία και κίνηση σε κεκλιμένο επίπεδο

Τραβώντας ένα κιβώτιο

   

Σε οριζόντιο επίπεδο ηρεμεί ένα μεγάλο κιβώτιο μάζας Μ. Ένας άνθρωπος μάζας 3Μ, δένει το κιβώτιο με ένα σχοινί, αμελητέας μάζας, και τραβώντας το άκρο του, προσπαθεί να το μετακινήσει. Δίνεται ότι ο συντελεστής οριακής  στατικής τριβής, ίσος με τον συντελεστή τριβής ολίσθησης, τόσο μεταξύ κιβωτίου και επιπέδου, όσο και μεταξύ παπουτσιών του ανθρώπου και του επιπέδου, έχει τιμή μ.

i) Η μέγιστη δύναμη F που μπορεί να ασκήσει στο σχοινί, χωρίς να μετακινηθεί κανένα σώμα, έχει μέτρο:

α) F= μΜg,    β) F=2μΜg,   γ) F=3μΜg,    δ) F=4μΜg.

ii) Αν μ=0,2 και g=10m/s², τότε η μέγιστη επιτάχυνση που μπορεί να αποκτήσει το κιβώτιο, έχει μέτρο:

α) α=1m/s²,    β) α=2m/s²,     α) α=3m/s²,     α) α=4m/s².

Απάντηση:

ή

 Τραβώντας ένα κιβώτιο

 Τραβώντας ένα κιβώτιο

Η κίνηση με την επίδραση τριών δυνάμεων

  

Ένα σώμα μάζας m=4kg ηρεμεί σε λείο οριζόντιο επίπεδο στη θέση Ο, στην αρχή δύο καθέτων οριζοντίων αξόνων x,y. Κάποια στιγμή  t=0 ασκούνται πάνω του τρεις σταθερές οριζόντιες δυνάμεις F₁, F₂ και F₃, όπως στο σχήμα (σε κάτοψη), όπου οι F₁ και F₂ έχουν την διεύθυνση των δύο αξόνων, ενώ η F₃, μέτρου F₃=5Ν, σχηματίζει με τον αρνητικό ημιάξονα x΄ γωνία θ, όπου ημθ=0,8 και συνθ=0,6. Το αποτέλεσμα είναι το σώμα να κινηθεί κατά μήκος του άξονα Οx και τη στιγμή t₁=4s να έχει φτάσει στη θέση x₁=4m.

i)  Να αναλύσετε την δύναμη F₃ σε δύο συνιστώσες πάνω στους  δύο άξονες x και y υπολογίζοντας τα μέτρα των συνιστωσών.

ii) Να υπολογίστε το μέτρο της δύναμης F₂.

iii) Πόση επιτάχυνση αποκτά το σώμα και πόση ταχύτητα έχει αποκτήσει τη στιγμή t₁.

iv) Ποιο το μέτρο της δύναμης F₁.

Απάντηση:

ή

  Η κίνηση με την επίδραση τριών δυνάμεων

  Η κίνηση με την επίδραση τριών δυνάμεων

Η επιτάχυνση με άσκηση πλάγιας δύναμης.

 

Ένα σώμα μάζας 2kg ηρεμεί σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Κάποια στιγμή t=0 ασκούμε πάνω του μια σταθερή  πλάγια δύναμη F, η οποία σχηματίζει γωνία θ με την οριζόντια διεύθυνση, όπως στο σχήμα. Το σώμα μετατοπίζεται κατά 4m, μέχρι τη στιγμή t₁=2s.

i) Να υπολογιστεί η επιτάχυνση του σώματος.

ii) Ποιο το μέτρο της ασκούμενης δύναμης F;

iii) Να βρεθεί η δύναμη που το σώμα ασκεί στο επίπεδο τη χρονική στιγμή t΄=1s.

iv) Τη στιγμή t₁ ασκείται  στο σώμα μια επιπλέον σταθερή οριζόντια δύναμη F₁, στο επίπεδο της σελίδας, με αποτέλεσμα στα επόμενα 2s, το σώμα να διανύει απόσταση Δx₁=8m. Να βρεθούν η κατεύθυνση και το μέτρο της δύναμης F₁.

Δίνεται ημθ=0,6,  συνθ=0,8 και g=10m/s².

Απάντηση:

ή

 Η επιτάχυνση με άσκηση πλάγιας δύναμης.

 Η επιτάχυνση με άσκηση πλάγιας δύναμης.

Η κίνηση δύο σωμάτων σε επαφή

Σε λείο οριζόντιο επίπεδο ηρεμούν δύο κιβώτια Α και Γ, με μάζες Μ=40kg και m=10kg αντίστοιχα, σε επαφή. Ένα παιδί τη στιγμή t₀=0 σπρώχνει το Α κιβώτιο, ασκώντας του μια σταθερή οριζόντια δύναμη F=20Ν, όπως στο σχήμα, συμπαρασύροντας και το Β κιβώτιο.

i) Να υπολογιστεί η κοινή επιτάχυνση την οποία θα αποκτήσουν τα δύο κιβώτια, καθώς και το μέτρο της δύναμης την οποία ασκεί το ένα στο άλλο.

ii) Να βρεθεί η ταχύτητα των κιβωτίων τη χρονική στιγμή t₁= 5s.

iii) Αν τη στιγμή t₁ το παιδί, θέλοντας να σταματήσει το κιβώτιο Α, αρχίζει να το τραβά ασκώντας του σταθερή οριζόντια δύναμη, με κατεύθυνση προς τα αριστερά, μέτρου F₁=20Ν, να υπολογιστούν:

α) Ποια χρονική στιγμή t₂ θα μπορέσει το παιδί  να ακινητοποιήσει, το Α κιβώτιο;

β) Ποια η απόσταση των δύο κιβωτίων τη στιγμή t₂;

Απάντηση:

ή

  Η κίνηση δύο σωμάτων σε επαφή

 Η κίνηση δύο σωμάτων σε επαφή

Δυο σώματα επιταχύνονται

 

Δυο σώματα Α και Β με μάζες m₁=2kg και m₂=3kg αντίστοιχα, ηρεμούν σε λείο οριζόντιο επίπεδο, δεμένα στα άκρα ενός ιδανικού ελατηρίου, με φυσικό μήκος ℓ₀=60cm. Σε μια στιγμή ασκούμε στο Α, μια οριζόντια δύναμη F=4Ν, όπως στο σχήμα, με αποτέλεσμα το ελατήριο να επιμηκύνεται και κάποια στιγμή t₁ το σώμα Α έχει επιτάχυνση α₁=0,5m/s².

i)  Να υπολογιστεί η δύναμη που το ελατήριο ασκεί στο σώμα Α την παραπάνω στιγμή t₁.

ii) Ποια η αντίστοιχη επιτάχυνση του Β σώματος, τη στιγμή αυτή;

iii) Αν τη στιγμή t₁ το ελατήριο έχει μήκος ℓ=75cm, να υπολογιστεί η σταθερά του ελατηρίου k.

iv) Την παραπάνω στιγμή το Α σώμα, έχοντας ταχύτητα υ₁=0,6m/s λύνεται από το ελατήριο, να υπολογιστεί η ταχύτητά του τη χρονική στιγμή t₂=t₁+1,2s.

Απάντηση:

ή

 Δυο σώματα επιταχύνονται

 Δυο σώματα επιταχύνονται

Και ξανά το νήμα τραβά…

  Ο μικρός Αριστοτέλης, τραβάει ένα μικρό κουτί μάζας Μ=400g, μέσω νήματος, πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο.

Εφαρμογή 1^η :

Αν ο Αριστοτέλης ασκήσει στο άκρο του νήματος οριζόντια δύναμη μέτρου F=1Ν, όπως στο (1) σχήμα, να υπολογιστεί η επιτάχυνση του κουτιού:

i) Αν η μάζα του νήματος θεωρείται αμελητέα.

ii) Αν το νήμα έχει μάζα m=100g.

 

Εφαρμογή 2^η:

Αν ο Αριστοτέλης ασκήσει στο κουτί μέσω του νήματος, οριζόντια δύναμη μέτρου F=1Ν, όπως στο (2) σχήμα, να υπολογιστεί η επιτάχυνση του κουτιού:

i) Αν η μάζα του νήματος θεωρείται αμελητέα.

ii) Αν το νήμα έχει μάζα m=100g.

Απαντήσεις:

ή

Και ξανά το νήμα τραβά…

Δυο σώματα αποκτούν την ίδια επιτάχυνση

   

Δύο σώματα με μάζες m₁ και m₂ , δεμένα στο άκρο νήματος αμελητέας μάζας και σταθερού μήκους, σύρονται σε λείο οριζόντιο επίπεδο, με την επίδραση μιας σταθερής οριζόντιας δύναμης F, όπως στο πάνω σχήμα.

i)  Τα σώματα κινούνται με την ίδια επιτάχυνση, μέτρου:

 

ii) Η τάση του νήματος, η οποία ασκείται στο σώμα μάζας m₂, έχει κατεύθυνση προς τα δεξιά και μέτρο:

 

iii) Αν την θέση του νήματος πάρει ένα ιδανικό ελατήριο και τα σώματα κινούνται ξανά προς τα δεξιά, με την ίδια επιτάχυνση (και σταθερό μήκος ελατηρίου), όπως στο κάτω σχήμα, τότε:

α) Να εξηγήσετε γιατί το ελατήριο έχει επιμηκυνθεί.

β) Αν η επιμήκυνση του ελατηρίου είναι ίση με Δℓ, τότε το ελατήριο αυτό έχει σταθερά:

 

Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.

Απάντηση:

ή

  Δυο σώματα αποκτούν την ίδια επιτάχυνση

 Δυο σώματα αποκτούν την ίδια επιτάχυνση

Δύο σώματα κινούνται κατακόρυφα.

  

Από ένα σημείο Α σε ύψος h=60m από το έδαφος, αφήνεται τη χρονική στιγμή t₀=0, να πέσει ένα σώμα Σ₁, χωρίς αρχική ταχύτητα, ενώ ταυτόχρονα από το σημείο Ο του εδάφους, το οποίο βρίσκεται στην ίδια κατακόρυφο με το Α, εκτοξεύεται κατακόρυφα προς τα πάνω, ένα δεύτερο σώμα Σ₂, με αρχική ταχύτητα μέτρου υ₀₂=20m/s.

Αφού θεωρήσετε το σημείο Ο ως αρχή ενός άξονα y΄y με θετική κατεύθυνση προς τα πάνω:

i)  Να γράψετε τις εξισώσεις ταχύτητας- χρόνου  (υ=υ(t))  και θέσης- χρόνου (y=y(t)) για τα δυο σώματα.

ii) Να υπολογίσετε τις ταχύτητες και τις θέσεις των δύο σωμάτων τη χρονική στιγμή t₁=1s.

iii) Ποια  χρονική στιγμή t₂ τα δυο σώματα  συγκρούονται; Να βρείτε την θέση σύγκρουσης, καθώς και τις ταχύτητες των σωμάτων ελάχιστα πριν την κρούση.

Η αντίσταση του αέρα θεωρείται αμελητέα, ενώ g=10m/s².

Απάντηση:

ή

 Δύο σώματα κινούνται κατακόρυφα.

 Δύο σώματα κινούνται κατακόρυφα.