Δύο αυτοκίνητα διασταυρώνονται

 Σε ευθύγραμμο δρόμο, κινούνται αντίθετα δύο αυτοκίνητα, όπως στο σχήμα, με ταχύτητες  σταθερών μέτρων |υ₁|=10m/s και |υ₂|=15m/s. Τα αυτοκίνητα την στιγμή t₀=0, περνούν από τα σημεία Α και Β, τα οποία απέχουν μεταξύ τους απόσταση D=450m.

Παίρνουμε το σημείο Α ως αρχή ενός προσανατολισμένου άξονα x΄x, με θετική την προς τα δεξιά κατεύθυνση, για να μελετήσουμε την κίνηση των  δύο κινητών.

i)   Να γράψετε την εξίσωση κίνησης κάθε αυτοκινήτου, σε συνάρτηση με το χρόνο (x=x(t)).

ii) Να υπολογίσετε την μετατόπιση και την θέση κάθε αυτοκινήτου την χρονική στιγμή t₁=10s. Ποια η απόσταση μεταξύ των δύο αυτοκινήτων, την παραπάνω στιγμή;

iii) Ποια χρονική στιγμή t₂ και σε ποια θέση τα δύο αυτοκίνητα διασταυρώνονται;

iv) Να παραστήσετε στο ίδιο σύστημα αξόνων, τη συνάρτηση x=x(t) για κάθε αυτοκίνητο, μέχρι τη στιγμή t₃ που το δεύτερο αυτοκίνητο φτάνει στην θέση Α. Στο διάγραμμα να φαίνονται χαρακτηριστικές τιμές για τις χρονικές  στιγμές και τις θέσεις.

Απάντηση:

ή

 Δύο αυτοκίνητα διασταυρώνονται

 Δύο αυτοκίνητα διασταυρώνονται

Δύο μαθητές περπατούν

 

Δυο μαθητές περπατούν σε έναν ευθύγραμμο δρόμο και λαμβάνοντας έναν προσανατολισμένο άξονα x΄x, σχεδιάζουμε στο διπλανό σχήμα τις θέσεις τους σε συνάρτηση με το χρόνο, x=f(t). Αντλώντας πληροφορίες από το διάγραμμα, να εξετάσετε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι σωστές ή λανθασμένες, δίνοντας και σύντομες δικαιολογήσεις.

i)  Ο μαθητής από 0-t₁ κινείται προς την θετική κατεύθυνση με σταθερή ταχύτητα.

ii) Στο χρονικό διάστημα 0-t₁ ο Α μαθητής, κινείται πιο γρήγορα από τον μαθητή Β.

iii) Τη χρονική στιγμή t₂ όπου ο μαθητής Β φτάνει στην αρχή του άξονα με x=0:

α) Η ταχύτητα του μαθητή Β είναι μηδενική.

β) Πιο γρήγορα περπατά ο Β μαθητής.

Απάντηση:

ή

 Δύο μαθητές περπατούν

 Δύο μαθητές περπατούν

Οι θέσεις και οι μετατοπίσεις δύο κινητών

 Σε ευθύγραμμο δρόμο, κινούνται αντίθετα δύο αυτοκίνητα, τα οποία κάποια στιγμή t₀=0, διασταυρώνονται στο σημείο Ο. Οι ταχύτητες των αυτοκινήτων Α και Β, έχουν μέτρα |υ₁|=20m/s και |υ₂|=25m/s αντίστοιχα.

 

Α) Παίρνοντας το σημείο Ο ως αρχή ενός προσανατολισμένου άξονα x΄x, με θετική την προς τα δεξιά κατεύθυνση, να απαντήσετε στα εξής ερωτήματα:

i)  Ποια η θέση κάθε αυτοκινήτου την στιγμή t_ο;

ii) Ποια η μετατόπιση κάθε αυτοκινήτου την στιγμή t₁=8s;

iii) Ποιες οι θέσεις των αυτοκινήτων την στιγμή t₁ και πόσο απέχουν μεταξύ τους τα δύο οχήματα;

Β) Αν η αρχή του άξονα x΄x είναι ένα σημείο Κ, αριστερά του Ο, σε απόσταση (ΟΚ)=100m, με τον ίδιο προσανατολισμό (προς τα δεξιά η θετική κατεύθυνση), ποιες οι αντίστοιχες απαντήσεις, στα προηγούμενα ερωτήματα; 

Απάντηση:

ή

 Οι θέσεις και οι μετατοπίσεις δύο κινητών

 Οι θέσεις και οι μετατοπίσεις δύο κινητών

Μια οριζόντια εκτόξευση σώματος

 

Ένα σώμα μάζας m=0,5kg εκτοξεύεται, κάποια στιγμή t=0, σε οριζόντιο επίπεδο με αρχική ταχύτητα υ_ο=6m/s και στο  διάγραμμα δίνεται η ταχύτητά του σε συνάρτηση με το χρόνο. 

i)  Να υπολογιστεί το έργο της τριβής, η οποία ασκείται στο σώμα, μέχρι να σταματήσει.

ii) Αν το σώμα σταματά την κίνησή του τη χρονική στιγμή t₁=2s, να βρεθούν:

α) Η επιτάχυνση του σώματος.

β) Το μέτρο της ασκούμενης τριβής, στη διάρκεια της κίνησης και ο συντελεστής  τριβής ολίσθησης, μεταξύ του σώματος και του επιπέδου.

iii) Αφού υπολογιστεί το έργο της τριβής, μέχρι το σώμα να περάσει από ένα σημείο Β, έχοντας μετατοπισθεί  κατά x₁=4m, να βρεθεί η ταχύτητα του σώματος στην θέση Β.

Δίνεται g=10m/s².

Απάντηση:

ή

 Μια οριζόντια εκτόξευση σώματος

 Μια οριζόντια εκτόξευση σώματος

Ας ελέγξουμε για τριβές και ενέργειες

 

Ένα σώμα μάζας 2kg σύρεται σε οριζόντιο επίπεδο με την επίδραση μιας σταθερής οριζόντιας δύναμης μέτρου F=10Ν. Σε μια στιγμή t₀=0, το σώμα περνά από μια θέση Α, με ταχύτητα υ_ο=0,5m/s, ενώ τη στιγμή t₁=5s έχει αποκτήσει ταχύτητα  ίδιας κατεύθυνσης και μέτρου υ₁=1,5m/s.

i)  Να αποδειχθεί ότι το επίπεδο δεν είναι λείο και να υπολογιστεί το μέτρο της ασκούμενης στο σώμα τριβής ολίσθησης, θεωρώντας την σταθερή.

ii) Να υπολογιστεί το έργο της δύναμης F, στο παραπάνω χρονικό διάστημα.

iii) Να επιβεβαιώσετε την ισχύ του θεωρήματος μεταβολής της κινητικής ενέργειας του σώματος, για την παραπάνω μετακίνηση το σώματος.

Απόδειξη:

ή

 Ας ελέγξουμε για τριβές και ενέργειες

 Ας ελέγξουμε για τριβές και ενέργειες

Η μηχανική ενέργεια σε μια κατακόρυφη βολή

 

Μια μικρή μπάλα μάζας 0,1kg, εκτοξεύεται από το έδαφος, κατακόρυφα προς τα πάνω με αρχική ταχύτητα υ_ο=12m/s. Θεωρούμε μηδενική την αρχική δυναμική ενέργεια της μπάλας, αμελητέα την αντίσταση του αέρα, ενώ g=10m/s².

i)  Πόση είναι η μηχανική ενέργεια της μπάλας στη διάρκεια της κίνησής της;

ii) Να υπολογιστεί η κινητική ενέργεια της μπάλας, όταν περνά από μια θέση Α, σε ύψος h=4m.

iii) Να βρεθεί η (στιγμιαία) ισχύς του βάρους στη θέση Α.

iv) Σε ποιο ύψος h₁ η ισχύς του βάρους μηδενίζεται;

Απάντηση:

ή

 Η μηχανική ενέργεια σε μια κατακόρυφη βολή

 Η μηχανική ενέργεια σε μια κατακόρυφη βολή

Ανεβάζοντας το σώμα στο κεκλιμένο επίπεδο

 

Ένα σώμα ηρεμεί στην βάση ενός λείου κεκλιμένου επιπέδου Α, κλίσεως φ. Κάποια στιγμή ασκούμε στο σώμα, μια δύναμη F, σταθερού μέτρου και παράλληλη στο επίπεδο, μετατοπίζοντάς το κατά x, όπως στο αριστερό σχήμα.

Το ίδιο  σώμα ηρεμεί στη βάση ενός δεύτερου λείου κεκλιμένου επιπέδου Β, με κλίση θ < φ, όπως στο δεξιό σχήμα και ασκώντας του δύναμη F του ίδιου μέτρου, επίσης παράλληλη με το επίπεδο, το μετατοπίζουμε ξανά κατά x.

i) Μεγαλύτερη ενέργεια μεταφέρεται στο σώμα, μέσω του έργου της δύναμης:

α) στο επίπεδο Α,   β) στο επίπεδο Β,   γ) στο σώμα μεταφέρεται η ίδια ενέργεια.

ii) Κατά την παραπάνω μετακίνηση, η δυναμική ενέργεια του σώματος αυξήθηκε περισσότερο:

α) κατά την μετακίνησή του στο επίπεδο Α.

β) κατά την μετακίνησή του στο επίπεδο Β.

γ) Δεν είναι φανερό, αφού μας λείπουν πληροφορίες.

iii) Μεγαλύτερη κινητική ενέργεια έχει το σώμα, μετά από μετατόπιση κατά x:

α) στο επίπεδο Α,   β) στο επίπεδο Β,   γ) το σώμα έχει αποκτήσει την ίδια κινητική ενέργεια.

Δεχτείτε ότι αρχικά το σώμα έχει μηδενική δυναμική ενέργεια, ενώ θεωρείται υλικό σημείο, αμελητέων διαστάσεων.

Απάντηση:

ή

 Ανεβάζοντας το σώμα στο κεκλιμένο επίπεδο

 Ανεβάζοντας το σώμα στο κεκλιμένο επίπεδο

Ένα λείο επίπεδο και ένα επίπεδο με τριβές

 

Ένα σώμα ηρεμεί στο λείο οριζόντιο επίπεδο (Α). Κάποια στιγμή ασκούμε πάνω του μια σταθερή οριζόντια δύναμη F, μετατοπίζοντάς το κατά x.

Το ίδιο σώμα ηρεμεί σε οριζόντιο μη λείο επίπεδο (Β). Σε μια στιγμή ασκούμε πάνω την ίδια σταθερή οριζόντια δύναμη F και το μετατοπίζουμε ξανά κατά x.

i) Μεγαλύτερη ενέργεια προσφέραμε στο σώμα κατά την μετακίνηση:

α) Στο επίπεδο (Α).

β) Στο επίπεδο (Β). 

γ) Προσφέραμε το ίδιο ποσό ενέργειας. 

δ) Δεν ξέρουμε αφού δεν γνωρίζουμε την ασκούμενη στο σώμα τριβή, κατά την κίνηση στο (Β) επίπεδο.

ii) Τη στιγμή που ολοκληρώνεται η μετακίνηση κατά x, η δύναμη καταργείται και στα δυο επίπεδα. Σε ποια περίπτωση το σώμα έχει αποκτήσει μεγαλύτερη κινητική ενέργεια:

α) Στο επίπεδο (Α). 

β) Στο επίπεδο (Β).

γ) Έχει αποκτήσει την ίδια κινητική ενέργεια και στα δυο επίπεδα. 

δ) Δεν ξέρουμε, αφού δεν γνωρίζουμε την ασκούμενη στο σώμα τριβή, κατά την κίνηση στο (Β) επίπεδο.

iii) Έχουμε σχεδιάσει στους ίδιους άξονες υ-t, την ταχύτητα του σώματος σε συνάρτηση με το χρόνο, για την κίνηση και στα δύο επίπεδα. Ποιο από τα παρακάτω διαγράμματα είναι σωστό;

 

Απάντηση:

ή

 Ένα λείο επίπεδο και ένα επίπεδο  με τριβές

 Ένα λείο επίπεδο και ένα επίπεδο  με τριβές

Με την ίδια δύναμη και ίδια μετατόπιση

 

Δύο σώματα Α και Β με μάζες m και 2m αντίστοιχα, ηρεμούν σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Στα σώματα ασκείται η ίδια σταθερή οριζόντια δύναμη F και τα μετατοπίζει κατά x. Μετά το τέλος της παραπάνω μετατόπισης:

i) Μεγαλύτερη κινητική ενέργεια θα έχει αποκτήσει:

α) Το σώμα Α,  β) το σώμα Β,   γ) Τα δυο σώματα θα αποκτήσουν ίσες κινητικές ενέργειες.

ii) Μεγαλύτερη ταχύτητα θα έχει:

α) Το σώμα Α,  β) το σώμα Β,   γ) Τα δυο σώματα θα αποκτήσουν ίσες ταχύτητες.

iii) Αν t₁ το χρονικό διάστημα που το Α σώμα χρειάστηκε για να διανύσει την απόσταση x και t₂ ο αντίστοιχος χρόνος που χρειάστηκε το Β σώμα, να βρεθεί μια σχέση μεταξύ των t₁ και  t₂.

Απάντηση:

ή

 Με την ίδια δύναμη και ίδια μετατόπιση

 Με την ίδια δύναμη και ίδια μετατόπιση

Δύο ισορροπίες και η τριβή

  

Όταν ένα σώμα Σ βάρους w ηρεμεί στο κάτω ενός κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου, όπως στο πρώτο σχήμα, τότε επιμηκύνει το ελατήριο κατά d₁.

i) Ποια από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστή.

α)  Στο ελατήριο ασκείται το βάρος του σώματος Σ.

β) Το σώμα Σ ασκεί στο ελατήριο δύναμη με φορά προς τα πάνω, με μέτρο ίσο με το βάρος w.

γ)  Στο ελατήριο ασκείται κατακόρυφη δύναμη, με φορά προς τα κάτω, μέτρου ίσου με το βάρος του σώματος Σ.

δ) Το σώμα Σ δεν μπορεί να ασκήσει στο ελατήριο, δύναμη μεγαλύτερου μέτρου, από το βάρος του.

Γιατί οι υπόλοιπες προτάσεις είναι λανθασμένες;

ii) Στο δεύτερο σχήμα το σώμα στηρίζεται σε οριζόντιο επίπεδο, ενώ το κατακόρυφο ιδανικό ελατήριο έχει επιμηκυνθεί κατά d₂=0,4d₁. Αν η μέγιστη οριζόντια δύναμη F, που μπορούμε να ασκήσουμε στο σώμα Σ, χωρίς να ολισθήσει, έχει μέτρο F_mαx=0,3w, τότε ο συντελεστής τριβής μεταξύ σώματος και επιπέδου έχει τιμή:

α) μ=0,3,   β) μ=0,5,   γ) μ=0,7,  δ) μ=0,9.

Υπενθυμίζεται ότι το ιδανικό ελατήριο υπακούει στο νόμο του Hooke (F=k∙Δl) όπου η δύναμη που το επιμηκύνει και Δl η επιμήκυνσή του. Εξάλλου δεχτείτε ότι το μέτρο της μέγιστης στατικής τριβής, η οριακή τριβή, μεταξύ του σώματος και του  επιπέδου, είναι ίσο με το μέτρο της τριβής ολίσθησης.

Απάντηση:

ή

 Δύο ισορροπίες και η τριβή

 Δύο ισορροπίες και η τριβή

Ένα σώμα σε κεκλιμένο επίπεδο

Ένα σώμα μάζας m=2kg τοποθετείται στο σημείο Α ενός κεκλιμένου επιπέδου, σε ύψος h=1,2m από το οριζόντιο επίπεδο. Αν ο συντελεστής τριβής ολίσθησης μεταξύ σώματος και επιπέδου είναι μ=7/8, ενώ θεωρούμε ότι η μέγιστη τριβή της στατικής τριβής, η οριακή τριβή, έχει μέτρο ίσο με την τριβή ολίσθησης, τότε:

i)  Να εξετάσετε αν το σώμα θα ολισθήσει προς τα κάτω, υπολογίζοντας και το μέτρο της ασκούμενης τριβής στο σώμα.

ii) Αν το σώμα, εκτοξευθεί από το σημείο Α προς τα κάτω κατά μήκος του επιπέδου, με ταχύτητα μέτρου υ₀=2,5m/s:

α) Να βρεθεί η επιτάχυνση με την οποία θα κινηθεί;

β) Σε πόσο χρόνο θα φτάσει στο οριζόντιο επίπεδο;

γ) Να υπολογιστεί η ταχύτητα του σώματος, την στιγμή που φτάνει στο οριζόντιο επίπεδο.

Δίνονται g=10m/s², ενώ για την γωνία θ του κεκλιμένου επιπέδου ημθ=0,6 και συνθ=0,8.

Απάντηση:

ή

 Ένα σώμα  σε κεκλιμένο επίπεδο

 Ένα σώμα  σε κεκλιμένο επίπεδο

Ένα σώμα σε κεκλιμένο επίπεδο

Ένα σώμα μάζας 1kg αφήνεται σε ένα κεκλιμένο επίπεδο με το οποίο παρουσιάζει συντελεστή τριβής ολίσθησης μ=0,5. Αν για την κλίση θ του επιπέδου, ισχύει ημθ=0,6 και συνθ=0,8, ενώ g=10m/s²:

i)   Να αναλύσετε το βάρος του σώματος σε δύο συνιστώσες, μια παράλληλη και μια κάθετη στο κεκλιμένο επίπεδο.

ii) Να βρείτε την δύναμη τριβής και να την σχεδιάσετε στο σχήμα, στις παρακάτω περιπτώσεις:

a)  Το σώμα αφήνεται ελεύθερο πάνω στο κεκλιμένο επίπεδο, χωρίς να του ασκούμε κάποια επιπλέον δύναμη.

b)  Αφήνουμε το σώμα πάνω στο κεκλιμένο επίπεδο, ενώ ταυτόχρονα του ασκούμε μια δύναμη F παράλληλη στο επίπεδο, όπως στο σχήμα με μέτρο:

α) F=5Ν,   β) F=8Ν,    γ) F=12Ν.

Απάντηση:

ή

 Ένα σώμα σε κεκλιμένο επίπεδο

 Ένα σώμα σε κεκλιμένο επίπεδο