Μια συνάντηση και οι ενέργειες

 Ένα σώμα Α μάζας m κινείται σε λείο οριζόντιο επίπεδο με ταχύτητα υ₁, ενώ ένα δεύτερο σώμα Β, της ίδιας μάζας m, συγκρατείται σε ύψος h, πάνω από το οριζόντιο επίπεδο. Τη στιγμή που το Α σώμα περνά από τη θέση Θ, όπου (ΘΟ)=x=h αφήνουμε το σώμα Β να πέσει, με αποτέλεσμα τα σώματα να συγκρούονται στο σημείο Ο, όπως στο σχήμα.

i) Η ταχύτητα υ₁ του Α σώματος συνδέεται με το ύψος h του Β σώματος, με τη σχέση:

α) υ₁²=2gh,   β) υ₁²=gh,     γ) 2υ₁²=gh.

ii) Ο λόγος Κ₁/Κ₂ των κινητικών ενεργειών των δύο σωμάτων, ελάχιστα πριν την σύγκρουσή τους, είναι ίσος:

α) Κ₁/Κ₂= ¼,    β) Κ₁/Κ₂= ½ ,   γ) Κ₁/Κ₂= 2,   δ) Κ₁/Κ₂= 4.

Απάντηση:

ή 

   Μια συνάντηση και οι ενέργειες

Μια συνάντηση και οι ενέργειες

Ένα σώμα παίρνει την ανηφόρα

 Ένα σώμα μάζας 2kg ηρεμεί  στη θέση Α ενός λείου οριζοντίου επιπέδου, απέχοντας κατά x=0,5m από τη βάση (σημείο Γ) ενός λείου κεκλιμένου επιπέδου κλίσεως θ. Κάποια στιγμή ασκούμε στο σώμα μια οριζόντια σταθερή δύναμη F, με αποτέλεσμα το σώμα να φτάνει στη θέση Γ με ταχύτητα μέτρου υ₁=2m/s. Στη συνέχεια το σώμα συνεχίζει την κίνησή του κατά μήκος του κεκλιμένου, μέχρι να μηδενιστεί στιγμιαία η ταχύτητά του αφού διανύσει απόσταση s=2m (θέση Δ), ενώ η δύναμη F, άλλαξε διεύθυνση, παίρνοντας τη διεύθυνση του επιπέδου, διατηρώντας σταθερό το μέτρο της. Να υπολογιστούν:

i) Η ενέργεια που μεταφέρθηκε στο σώμα μέσω του έργου της δύναμης στη διαδρομή ΑΓ, καθώς και το μέτρο της δύναμης F.

ii) Η γωνία κλίσεως θ του επιπέδου.

iii) Η μέγιστη αύξηση της δυναμικής ενέργειας του σώματος στη διαδρομή ΑΔ και να συγκριθεί με το έργο της δύναμης F.

iv) Μόλις μηδενιστεί η ταχύτητα στη θέση Δ, η δύναμη F παύει να ασκείται στο σώμα. Να βρεθεί η μέγιστη ταχύτητα που αποκτά στη συνέχεια το σώμα.

Δίνεται g=10m/s².

Απάντηση:

ή

Ένα σώμα παίρνει την ανηφόρα

Ένα σώμα παίρνει την ανηφόρα

Τα έργα των δυνάμεων κατά την άνοδο

 Ένα σώμα μάζας 2kg ηρεμεί  σε κεκλιμένο επίπεδο κλίσεως θ=30°, στη θέση Α, του διπλανού σχήματος.

i)  Να σχεδιάσετε τις δυνάμεις που ασκούνται στο σώμα και να υπολογίσετε την τριβή που δέχεται από το επίπεδο.

ii)  Κάποια στιγμή ασκούμε στο σώμα μια σταθερή δύναμη μέτρου F=25Ν, με αποτέλεσμα να κινηθεί και μετά από λίγο να φτάσει στη θέση Γ, με ταχύτητα υ=3m/s. Η κατακόρυφη απόσταση μεταξύ των σημείων Α και Γ είναι h=1,5m.

α)  Να υπολογίσετε τα έργα της δύναμη F και του βάρους για την μετακίνηση από το Α στο Γ.

β)  Πόσο είναι το αντίστοιχο έργο της τριβής ολίσθησης που ασκείται στο σώμα;

γ)  Να βρεθεί το μέτρο της τριβής ολίσθησης.

δ)  Θα χαρακτηρίζατε την αρχική τριβή (του ερωτήματος i)) ως οριακή τριβή; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

Δίνεται g=10m/s², ημ30°= ½ , συν30°= √3/2

Απάντηση:

ή

Τα έργα των δυνάμεων κατά την άνοδο

Τα έργα των δυνάμεων κατά την άνοδο

Ένας πίνακας για τις τριβές

 Σε κεκλιμένο επίπεδο κλίσεως θ, όπου ημθ=0,6 και συνθ=0,8, τοποθετούμε ένα σώμα μάζας 20kg, στο οποίο ένας άνθρωπος ασκεί μέσω νήματος μια  δύναμη F, παράλληλη με το επίπεδο όπως στο σχήμα. Αν ο συντελεστής τριβής ολίσθησης μεταξύ σώματος και επιπέδου είναι μ=0,5, ενώ η μέγιστη τιμή της στατικής τριβής (η οριακή τριβή) έχει το ίδιο μέτρο με την τριβή ολίσθησης, να συμπληρωθεί ο παρακάτω πίνακας, με τις τιμές της ασκούμενης τριβής και της επιτάχυνσης την οποία θα αποκτήσει το σώμα, για διάφορες τιμές της δύναμης F. Για την συμπλήρωση του πίνακα να θεωρήσετε θετική την προς τα πάνω κατεύθυνση κατά μήκος του επιπέδου. Για παράδειγμα μια τριβή μέτρου 2Ν με φορά προς τα πάνω θα γράφεται ως +2Ν, ενώ μια τριβή με φορά προς τα κάτω και μέτρο 6Ν θα συμπληρώνεται ως -6Ν.

F (Ν)	Τ(Ν)	α (m/s2)
0
30
60
120
160
200
240

Να δώσετε σύντομες δικαιολογήσεις για το πώς καταλήξατε στις τιμές που θα γράψετε στον πίνακα.

Δίνεται g=10m/s².

Απάντηση:

ή

Ένας πίνακας για τις τριβές

Ένας πίνακας για τις τριβές

Η σανίδα και το κιβώτιο

Σε λείο κεκλιμένο επίπεδο ηρεμεί μια σανίδα μάζας m=10kg, δεμένη με νήμα όπως στο σχήμα, παράλληλο προς το κεκλιμένο επίπεδο. Αν η τάση του νήματος έχει μέτρο F₁=50Ν:

i)  Να αναλύσετε το βάρος της σανίδας σε δυο συνιστώσες, μια παράλληλη και μια κάθετη στο κεκλιμένο επίπεδο, υπολογίζοντας τα μέτρα τους.

ii) Τοποθετούμε πάνω στη σανίδα ένα κιβώτιο της ίδιας μάζας m, το οποίο αρχίζει να ολισθαίνει προς τα κάτω. Για όσο χρόνο το κιβώτιο βρίσκεται σε επαφή με τη σανίδα, η τάση του νήματος μπορεί να έχει μέτρο:

α) F₂=50Ν,   β) 50Ν ≤ F₂ < 100Ν,   γ) F₂=100Ν,   δ) F₂ >100Ν.

Δίνεται g=10m/s².

Απάντηση:

ή

Η σανίδα και το κιβώτιο

Η σανίδα και το κιβώτιο

Όρθιο σώμα ή πλάγια δύναμη;

Ένα σώμα μάζας σχήματος ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου ηρεμεί σε οριζόντιο επίπεδο με το οποίο παρουσιάζει συντελεστή τριβής μ=0,5. Στο σώμα ασκούμε μια σταθερή οριζόντια δύναμη F, με αποτέλεσμα να μετακινείται κατά x₁ σε χρονικό διάστημα t₁. Επαναλαμβάνουμε το πείραμα, θέλοντας να πετύχουμε μεγαλύτερη μετατόπιση του σώματος, στο ίδιο χρονικό διάστημα t₁. Για να το πετύχουμε προτείνονται δύο λύσεις:

α)  Να τοποθετήσουμε το σώμα σε επαφή με το επίπεδο με την μικρότερου εμβαδού έδρα του, όπως στο 2^ο σχήμα, οπότε έτσι θα μειώσουμε τις τριβές (το σώμα δεν πρόκειται να ανατραπεί).

β)  Να ασκήσουμε πλάγια, ίδιου μέτρου δύναμη F, η διεύθυνση της οποίας να σχηματίζει με το οριζόντιο επίπεδο γωνία θ=45­°, όπως στο σχήμα.

Υπάρχει περίπτωση να πετύχουμε τη μεγαλύτερη μετατόπιση που επιθυμούμε;

Δίνεται ότι ημ45°=συν45°≈0,7.

Απάντηση:

ή

Όρθιο σώμα ή πλάγια δύναμη;

Όρθιο σώμα ή πλάγια δύναμη;

Οι τριβές σε δύο κιβώτια

Σε οριζόντιο επίπεδο ηρεμεί ένα σώμα Α μάζας m, το οποίο εμφανίζει με το επίπεδο συντελεστές τριβής μ=μ_s. (Η μέγιστη τιμή της στατικής τριβής λαμβάνεται ίση και με την τριβή ολίσθησης). Η ελάχιστη οριζόντια δύναμη που πρέπει να ασκηθεί στο σώμα Α για να αρχίσει να μετακινείται έχει μέτρο F_min=10Ν.

i) Αν στο σώμα ασκηθεί οριζόντια δύναμη μέτρου F₁=6Ν, τότε η τριβή που θα ασκηθεί στο σώμα θα έχει μέτρο:

α) Τ₁< 6Ν,   β) Τ₁=6Ν,   γ) Τ₁=10Ν.

ii) Σε λείο οριζόντιο επίπεδο ηρεμεί ένα δεύτερο σώμα Β, της ίδιας μάζας m. Τοποθετούμε πάνω του το σώμα Α, ασκώντας του και μια οριζόντια δύναμη μέτρου F₂=14Ν, όπως στο σχήμα. Αν μεταξύ των δύο σωμάτων εμφανίζεται τριβή με τους ίδιους, όπως και πριν, συντελεστές (μ=μ_s), τότε:

α) Το κάτω σώμα Β θα επιταχυνθεί προς τα δεξιά.

β) Μεγαλύτερη τριβή θα ασκηθεί στο κάτω σώμα Β.

γ) Το σώμα Α θα ολισθήσει, αφού δέχεται δύναμη μεγαλύτερη από την μέγιστη δυνατή στατική τριβή (οριακή τριβή).

δ) Η τριβή που θα δεχτεί το Α σώμα θα έχει μέτρο ίσο με 10Ν.

Να χαρακτηρίσετε ως σωστές ή λανθασμένες τις παραπάνω προτάσεις δικαιολογώντας τις απαντήσεις σας.

Απάντηση:

ή

Οι τριβές σε δύο κιβώτια

Οι τριβές σε δύο κιβώτια

Σπρώχνοντας μια ντουλάπα.

Σε οριζόντιο επίπεδο ηρεμεί μια ντουλάπα μάζας 60kg. Ένα παιδί μάζας 50kg σπρώχνει την ντουλάπα ασκώντας της οριζόντια δύναμη F=100Ν, χωρίς να μπορέσει να την μετακινήσει.

i)  Να υπολογίσετε τις δυνάμεις που ασκούνται στην ντουλάπα και στο παιδί.

ii) Ποιες οι δυνατές τιμές του συντελεστή τριβής μεταξύ ντουλάπας και επιπέδου και ποιες μεταξύ των παπουτσιών του παιδιού και του επιπέδου;

iii) Αν ο συντελεστής τριβής τόσο μεταξύ των παπουτσιών του παιδιού, όσο και της ντουλάπας, με το επίπεδο είναι μ=0,4, πόση είναι η μέγιστη δύναμη που μπορεί το παιδί να ασκήσει στην ντουλάπα;

iv) Αν ο συντελεστής τριβής μεταξύ των παπουτσιών και του επιπέδου είναι μ₂=0,8 ενώ μεταξύ ντουλάπας και επιπέδου είναι μ₁=0,25, ενώ ασκώντας κατάλληλη δύναμη F₁ το παιδί στη ντουλάπα, της προσδίδει σταθερή επιτάχυνση, με αποτέλεσμα να την μετακινεί κατά 1,6m σε  χρονικό διάστημα 4s, να υπολογιστεί η τριβή που δέχεται το παιδί από το έδαφος.

Η μέγιστη τιμή της στατικής τριβής (η οριακή τριβή), να θεωρηθεί ίση με την τριβή ολίσθησης, ενώ g=10m/s².

Απάντηση:

ή

  Σπρώχνοντας μια ντουλάπα

Σπρώχνοντας μια ντουλάπα. 

Κινήσεις σε κεκλιμένα επίπεδα

1) Έχουμε δύο λεία κεκλιμένα επίπεδα με την ίδια γωνία κλίσεως θ. Στο πρώτο επίπεδο, αφήνουμε κάποια στιγμή ένα σώμα Α μάζας m και ταυτόχρονα στο δεύτερο επίπεδο, σώμα Β μάζας M= 2m, από το ίδιο ύψος h, όπως στο σχήμα.

i) Μεγαλύτερη δύναμη από το επίπεδο θα ασκηθεί:

α) στο σώμα Α,  β) στο σώμα Β, γ) θα ασκηθούν δυνάμεις ίσου μέτρου.

ii) Πρώτο στη βάση του επιπέδου θα φτάσει:

α) το σώμα Α,  β) το σώμα Β,  γ) τα δυο σώματα θα φτάσουν ταυτόχρονα στο οριζόντιο επίπεδο.

Η συνέχεια …

ή

Κινήσεις σε κεκλιμένα επίπεδα.

 Κινήσεις σε κεκλιμένα επίπεδα

Μετακινώντας ένα κιβώτιο με ξύλα.

Ένα κιβώτιο με ξύλα μάζας m=40kg ηρεμεί σε οριζόντιο επίπεδο. Σε μια στιγμή (t₀=0), ένα παιδί Α αρχίζει να μετακινεί το κιβώτιο, ασκώντας του μια σταθερή οριζόντια δύναμη F=90Ν. Έτσι σε χρονικό διάστημα t₁=4s, έχει μετακινήσει το κιβώτιο κατά 2m. Την στιγμή αυτή ένα δεύτερο παιδί τοποθετεί στο κιβώτιο ένα επιπλέον ξύλο μάζας 10kg, ενώ το παιδί Α συνεχίζει να σπρώχνει με την ίδια δύναμη. Να βρεθούν:

i) Η αρχική επιτάχυνση το κιβωτίου μέχρι τη στιγμή t₁.

ii) Ο συντελεστής τριβής μεταξύ κιβωτίου και οριζοντίου επιπέδου.

iii) Η επιτάχυνση του κιβωτίου, μόλις προστεθεί στο κιβώτιο το ξύλο των 10kg.

iv) Η συνολική μετατόπιση του κιβωτίου μέχρι τη στιγμή t₂=10s.

Δίνεται g=10m/s².

Απάντηση:

ή

 Μετακινώντας ένα κιβώτιο με ξύλα.

Μετακινώντας ένα κιβώτιο με ξύλα.

Κίνηση σώματος σε δύο επίπεδα

Ένα σώμα μάζας 4kg κινείται σε λείο οριζόντιο επίπεδο Α και σε μια στιγμή t₀=0, περνά με ταχύτητα υ₀=12m/s, σε ένα δεύτερο μη λείο οριζόντιο επίπεδο Β, με αποτέλεσμα να επιβραδύνεται και να σταματά την προς τα δεξιά κίνησή του, τη στιγμή t₁=3s. Στο σώμα ασκείται διαρκώς μια σταθερή δύναμη μέτρου F=5Ν, η οποία σχηματίζει με το οριζόντιο επίπεδο γωνία θ, όπου ημθ=0,6 και συνθ=0,8 όπως στο σχήμα.

i)  Να αναλύσετε τη δύναμη F σε δυο συνιστώσες, μια οριζόντια και μια κατακόρυφη, υπολογίζοντας και τα μέτρα των δύο συνιστωσών.

ii) Να υπολογιστεί η επιτάχυνση του σώματος στο επίπεδο Β.

iii) Να βρεθεί ο συντελεστής τριβής μεταξύ του σώματος και του επιπέδου Β.

iv) Να κάνετε τη γραφική παράσταση της τριβής που ασκείται στο σώμα, από 0-5s, θεωρώντας την προς τα δεξιά κατεύθυνση ως θετική.

Δίνεται g=10m/s².

Απάντηση:

ή

Κίνηση σώματος σε δύο επίπεδα

Κίνηση σώματος σε δύο επίπεδα

Η εκτόξευση δύο σωμάτων

Ένα σώμα Α μάζας m εκτοξεύεται σε οριζόντιο επίπεδο με αρχική ταχύτητα υ₀ και στο διπλανό σχήμα, η γραμμή (2) δείχνει πώς μεταβάλλεται η ταχύτητά του σε συνάρτηση με το χρόνο, μέχρι να σταματήσει.

i)  Αν εκτοξεύουμε στο ίδιο επίπεδο με την ίδια αρχική ταχύτητα, ένα δεύτερο σώμα Β, με μάζα 2m, το οποίο παρουσιάζει τον ίδιο συντελεστή τριβής ολίσθησης με το επίπεδο, τότε η ταχύτητά του μεταβάλλεται όπως η γραμμή:

α) (1),        β) (2),         γ)  (3)

ii) Αν το Α σώμα σταματήσει αφού μετατοπισθεί κατά x₁, τότε το σώμα Β θα σταματήσει αφού μετακινηθεί κατά x₂, όπου:

α) x₁ < x₂,    β) x₁ = x₂,     γ) x₁ > x₂.

Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις  σας.

Απάντηση:

ή

 Η εκτόξευση δύο σωμάτων

Η εκτόξευση δύο σωμάτων