Δύο κατακόρυφες βολές

Από ένα σημείο Α  στο έδαφος, εκτοξεύεται κατακόρυφα τη χρονική στιγμή t₀=0 ένα βλήμα με αρχική ταχύτητα υ₀₁=40m/s. Τη στιγμή t΄=2s, από ένα άλλο σημείο  Β του εδάφους, όπου η απόσταση (ΑΒ)=20m εκτοξεύεται ένα δεύτερο βλήμα με κατακόρυφη ταχύτητα υ₀₂=35m/s.

i) Ποια χρονική στιγμή t₁ το πρώτο βλήμα φτάνει στο μέγιστο ύψος; Να υπολογιστεί το ύψος αυτό.

ii) Ποια η ταχύτητα και ποια η θέση του δεύτερου βλήματος τη στιγμή t₁;

iii) Ποιο βλήμα θα επιστρέψει πρώτο στο έδαφος;

iv) Να βρεθούν οι ταχύτητες των δύο βλημάτων και η απόσταση μεταξύ τους τη χρονική στιγμή t₂=6s.

Η αντίσταση του αέρα θεωρείται αμελητέα, ενώ g=10m/s².

Απάντηση:

ή

 Δύο κατακόρυφες βολές

Δύο κατακόρυφες βολές

Δύο σώματα κινούνται κατακόρυφα.

  

Από ένα σημείο Α σε ύψος h=60m από το έδαφος, αφήνεται τη χρονική στιγμή t₀=0, να πέσει ένα σώμα Σ₁, χωρίς αρχική ταχύτητα, ενώ ταυτόχρονα από το σημείο Ο του εδάφους, το οποίο βρίσκεται στην ίδια κατακόρυφο με το Α, εκτοξεύεται κατακόρυφα προς τα πάνω, ένα δεύτερο σώμα Σ₂, με αρχική ταχύτητα μέτρου υ₀₂=20m/s.

Αφού θεωρήσετε το σημείο Ο ως αρχή ενός άξονα y΄y με θετική κατεύθυνση προς τα πάνω:

i)  Να γράψετε τις εξισώσεις ταχύτητας- χρόνου  (υ=υ(t))  και θέσης- χρόνου (y=y(t)) για τα δυο σώματα.

ii) Να υπολογίσετε τις ταχύτητες και τις θέσεις των δύο σωμάτων τη χρονική στιγμή t₁=1s.

iii) Ποια  χρονική στιγμή t₂ τα δυο σώματα  συγκρούονται; Να βρείτε την θέση σύγκρουσης, καθώς και τις ταχύτητες των σωμάτων ελάχιστα πριν την κρούση.

Η αντίσταση του αέρα θεωρείται αμελητέα, ενώ g=10m/s².

Απάντηση:

ή

 Δύο σώματα κινούνται κατακόρυφα.

 Δύο σώματα κινούνται κατακόρυφα.

Ποιος μαθητής έχει δίκιο για την καμπύλη που χάραξε;

 Λίγα … Μαθηματικά:

Έστω μια συνάρτηση 2^ου βαθμού της μορφής y=αx²+βx+γ. Η γραφική της παράσταση είναι μια παραβολή, η μορφή της οποίας θα καθοριστεί από το πρόσημο του συντελεστή του δευτεροβάθμιου όρου, δηλαδή από το πρόσημο του α.

·        Αν το α>0, τότε η παραβολή έχει στρέψει τα «κοίλα άνω», όπως στο πρώτο από τα παρακάτω σχήματα:

 

·        Αν α< 0, η παραβολή έχει τα «κοίλα κάτω», όπως στο δεξιό από τα παραπάνω σχήματα.

Από κει και πέρα η ακριβής μορφή της καμπύλης (αν τέμνει τους άξονες και σε ποια σημεία, το άνοιγμά της…) καθορίζονται από τους άλλους συντελεστές (β και γ).

Ας δούμε πώς τα παραπάνω βρίσκουν εφαρμογή σε μια κατακόρυφη βολή.

 

Εφαρμογή:

Από ορισμένο ύψος h από το έδαφος, εκτοξεύεται κατακόρυφα προς τα πάνω ένα μικρό σώμα. Ζητήσαμε από τρεις μαθητές, να χαράξουν την γραφική παράσταση της θέσης του σώματος, σε συνάρτηση με το χρόνο (y-t), μέχρι κάποια στιγμή t₁. Οι μαθητές, χάραξαν τις παρακάτω γραφικές παραστάσεις (προσεγγίζουν παραβολές):

 

Ποιος ή ποιοι μαθητές χάραξαν σωστά την καμπύλη;

Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

Απάντηση:

ή

 Ποιος μαθητής έχει δίκιο για την καμπύλη που χάραξε;

 Ποιος μαθητής έχει δίκιο για την καμπύλη που χάραξε;

Μια κατακόρυφη βολή, πάνω-κάτω!

 

Από ένα σημείο Ο σε ύψος Η, εκτοξεύεται σε μια στιγμή t₀=0, κατακόρυφα προς τα πάνω μια μπάλα, με αρχική ταχύτητα μέτρου υ₀=10m/s.

i)   Να πάρετε στο σχήμα μια θέση Α που η μπάλα ανεβαίνει, τη θέση Β στο μέγιστο ύψος και μια θέση Γ, όπου η μπάλα κατεβαίνει και να σχεδιάσετε την επιτάχυνση της μπάλας και στις τρεις παραπάνω θέσεις.

ii)  Θέλοντας να μελετήσουμε την κίνηση της μπάλας παίρνουμε έναν κατακόρυφο άξονα με αρχή το σημείο Ο και θετική φορά προς τα πάνω. Με βάση τον άξονα αυτό να δώσετε τις εξισώσεις σε συνάρτηση με το χρόνο της ταχύτητας και της θέσης της μπάλας (υ-t και y-t).

iii) Ποια χρονική στιγμή t₁ η μπάλα βρίσκεται στο μέγιστο ύψος, στη θέση Β, και πόσο απέχει τότε από το σημείο εκτόξευσης Ο;

iv) Ποια χρονική στιγμή t₂ η μπάλα επιστρέφει στο σημείο Ο και ποια η ταχύτητα επιστροφής;

v) Αν η μπάλα φτάνει στο έδαφος τη χρονική στιγμή t₃=2,5s, να βρεθεί το ύψος Η του σημείου εκτόξευσης Ο, από το έδαφος;

Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας g=10m/s².

Απάντηση:

ή

  Μια κατακόρυφη βολή, πάνω-κάτω!

  Μια κατακόρυφη βολή, πάνω-κάτω!

Ελεύθερη πτώση και πτώση στον αέρα

Αφήνουμε ένα  σώμα να πέσει από ύψος h=45m από το έδαφος.

i)  Αν η αντίσταση του αέρα θεωρείται αμελητέα, ενώ g=10m/s²:

α) Να βρεθεί ο χρόνος ο χρόνος πτώσης και η ταχύτητα με την οποία το σώμα φτάνει στο έδαφος.

β) Να γίνει η γραφική παράσταση της ταχύτητας του σώματος σε συνάρτηση με το χρόνο, μέχρι που να φτάσει στο έδαφος.

ii) Αφήνουμε μια μπάλα να πέσει από την ταράτσα μιας πολυκατοικίας και από ύψος 45m από το έδαφος, ενώ πάνω της ασκείται και μια δύναμη από τον αέρα (η αντίσταση του αέρα).

α) Αν η αντίσταση του αέρα θεωρείται σταθερή δύναμη, ποιο διάγραμμα από το αριστερό σχήμα, παριστά την ταχύτητα του σώματος σε συνάρτηση με το χρόνο; Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας.

β)  Βέβαια η αντίσταση του αέρα δεν είναι σταθερή. Είναι μια δύναμη αντίθετης κατεύθυνσης από την ταχύτητα και έχει μέτρο, ανάλογο του μέτρου της ταχύτητας.

β₁) Ποια  η αρχική επιτάχυνση της μπάλας μόλις αφεθεί να κινηθεί;

β₂) Ποια καμπύλη, από το δεξιό σχήμα, παριστά τώρα το μέτρο της ταχύτητας της μπάλας σε συνάρτηση με το χρόνο;

iii) Από την ταράτσα της ίδιας πολυκατοικίας αφήνουμε να πέσουν ταυτόχρονα δυο κιβώτια, ένα πράσινο και ένα κόκκινο (βλέπε σχήμα) του ίδιου όγκου και σχήματος, ενώ στο σχήμα βλέπετε τις θέσεις τους κάποιες στιγμές στη διάρκεια της πτώσης. Ποιο κιβώτιο είναι βαρύτερο και γιατί;

Απάντηση:

ή

 Ελεύθερη πτώση και πτώση στον αέρα

Ελεύθερη πτώση και πτώση στον αέρα

Μια κατακόρυφη κίνηση μπάλας

Μια μπάλα εκτοξεύεται από το έδαφος κατακόρυφα προς τα πάνω, οπότε μετά από λίγο περνά από ένα σημείο Α σε ύψος h με ταχύτητα  μέτρου υ₁, φτάνει σε μέγιστο ύψος Η, στο σημείο Γ, ενώ στη συνέχεια κινείται ξανά προς τα κάτω και περνά μετά από λίγο ξανά από το σημείο Α, με ταχύτητα μέτρου υ₂.

i)  Να σχεδιάσετε τα διανύσματα της ταχύτητας και της επιτάχυνσης της μπάλας, στις θέσεις Γ και Α (για την άνοδο και την κάθοδο), πάνω στο διπλανό σχήμα.

ii)  Να αποδείξετε ότι για τα μέτρα των ταχυτήτων υ₁ και υ₂ της μπάλας στη θέση Α ισχύει υ₁=υ₂.

iii) Αν για τη μετάβαση από το Α στο Γ απαιτείται χρονικό διάστημα Δt₁, τότε το χρονικό διάστημα για την πτώση από το Γ στο Α απαιτείται χρονικό διάστημα Δt₂, όπου:

α) Δt₂ < Δt₁,    β) Δt₂ = Δt₁,    γ) Δt₂ > Δt₁.

Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας.

Η αντίσταση του αέρα θεωρείται αμελητέα.

Απάντηση:

ή

Μια κατακόρυφη κίνηση μπάλας

   Μια κατακόρυφη κίνηση μπάλας

Δυο μπάλες κινούνται κατακόρυφα

Δυο  φίλοι, ο Αντώνης και ο Βασίλης, βρίσκονται στην ίδια κατακόρυφη, ο Αντώνης στην ταράτσα μιας πολυκατοικίας και ο Βασίλης στο έδαφος, όπως στο διπλανό σχήμα. Κάποια στιγμή t₀=0, ο Αντώνης αφήνει να πέσει ελεύθερα μια μικρή σφαίρα (α), ενώ την ίδια  στιγμή ο Βασίλης εκτοξεύει κατακόρυφα με φορά προς τα πάνω, μια δεύτερη σφαίρα (β) με αρχική ταχύτητα μέτρου υ₀₂=20m/s. Οι δυο μπάλες συγκρούονται τη στιγμή που μηδενίζεται η ταχύτητα της (β) και στη συνέχεια πέφτουν στο έδαφος, κινούμενες πάντα στην ίδια κατακόρυφο.

i)  Ποια σφαίρα κινείται με μεγαλύτερη επιτάχυνση;

ii) Να πάρετε έναν κατακόρυφο άξονα y, με y=0 τη θέση που αφήνεται η πρώτη σφαίρα να κινηθεί και με θετική φορά προς τα κάτω. Με βάση τον άξονα αυτό να γράψετε τις εξισώσεις της ταχύτητας και της θέσης κάθε σφαίρας, σε συνάρτηση με το χρόνο.

iii) Ποια χρονική στιγμή συγκρούονται οι δυο σφαίρες και σε πόσο ύψος θα γίνει η σύγκρουση μεταξύ τους;

iv) Από ποιο ύψος ο Αντώνης αφήνει την (α) σφαίρα να πέσει;

v) Αν η δεύτερη σφαίρα (β) φτάνει ξανά στο έδαφος τη χρονική στιγμή t₂= 3s, να υπολογιστεί η ταχύτητά της τη στιγμή που κτυπά στο έδαφος.

Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας g=10m/s², ενώ δεχόμαστε ότι η δεύτερη σφαίρα ξεκινά την κίνησή της από το έδαφος (μηδενικό ύψος).

Απάντηση:

ή

Δυο μπάλες κινούνται κατακόρυφα

Δυο μπάλες κινούνται κατακόρυφα

Μια κατακόρυφη κίνηση πριν και μετά το κόψιμο του νήματος.

Ένα σώμα μάζας 0,5kg ηρεμεί στο έδαφος. Τη στιγμή t=0, δέχεται μέσω νήματος μια κατακόρυφη σταθερή δύναμη μέτρου F=9Ν, μέχρι τη στιγμή t₁=2s, όπου το νήμα σπάει και το σώμα κινείται πια «ελεύθερα». Αντίσταση του αέρα δεν υπάρχει ενώ g=10m/s².

i) Να υπολογίστε την επιτάχυνση του σώματος για το χρονικό διάστημα που στο σώμα ασκείται η δύναμη F.

ii) Πόσο απέχει το σώμα από το έδαφος τη στιγμή που σπάει το νήμα;

iii) Ποια χρονική στιγμή το σώμα σταματά την ανοδική του κίνηση; Σε ποιο ύψος βρίσκεται τη στιγμή αυτή;

iv) Να βρεθεί η χρονική στιγμή που το σώμα επιστρέφει στο έδαφος. Ποια η ταχύτητά του τη στιγμή αυτή;

v) Να γίνουν τα διαγράμματα σε συνάρτηση με το χρόνο:

 α) της ταχύτητας του σώματος,  β) της απόστασής του από το έδαφος.

Απάντηση:

ή

	Μια κατακόρυφη κίνηση πριν και μετά το κόψιμο του νήματος.

Ελεύθερη πτώση-Κατακόρυφη βολή. Ένα test.

1)       Από το έδαφος εκτοξεύεται κατακόρυφα ένα σώμα με αρχική ταχύτητα υ₀=20m/s. Πάρτε έναν κατακόρυφο άξονα yy΄, θέστε το μηδέν στο έδαφος και θετική φορά προς τα πάνω.

Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας g=10m/s², ενώ η αντίσταση του αέρα θεωρείται αμελητέα.

i)       Για την κίνηση του σώματος ισχύουν οι εξισώσεις:

υ= ……………………    και    y= ……………………………….

ii)      Να βρεθεί η ταχύτητα και η θέση του σώματος τις χρονικές στιγμές:

α)  t₁=1s       και   β) t₂=3s

iii)    Μετά πόσο χρόνο και με ποια ταχύτητα επιστρέφει στο έδαφος;

iv)   Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται το σώμα σε τρεις θέσεις. Η Α θέση κατά την άνοδο, η Β όταν το σώμα βρίσκεται στο μέγιστο ύψος, ενώ στη θέση Γ, το σώμα κατεβαίνει. Και στις τρεις αυτές θέσει να σχεδιάστε την επιτάχυνση και την ταχύτητα του σώματος.

Μονάδες 10+40+20+30=100

2)       Από το μπαλκόνι μιας πολυκατοικίας εκτοξεύεται για t=0, κατακόρυφα προς τα πάνω ένα σώμα με αρχική ταχύτητα υ₀=10m/s. Πάρτε έναν κατακόρυφο άξονα yy΄, θέστε το μηδέν στο σημείο εκτόξευσης και θετική φορά προς τα πάνω.

Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας g=10m/s², ενώ η αντίσταση του αέρα θεωρείται αμελητέα.

i)       Για την κίνηση του σώματος ισχύουν οι εξισώσεις:

υ= ……………………    και    y= ……………………………….

ii)      Να βρεθεί σε πόσο χρόνο το σώμα θα σταματήσει να κινείται προς τα πάνω και το μέγιστο ύψος από το σημείο εκτόξευσης, στο οποίο θα φτάσει.

iii)    Αν το σώμα φτάνει στο έδαφος τη χρονική στιγμή t₁=3s, να βρεθούν:

α)  Η ταχύτητα με την οποία το σώμα φτάνει στο έδαφος.

β)  Το ύψος από το έδαφος του μπαλκονιού από το οποίο έγινε η εκτόξευση;

Μονάδες 10+40+20+30=100

3ος νόμος και ελεύθερη πτώση, ένα test.

Το σώμα Σ μάζας m=5kg ηρεμεί πάνω σε ένα τραπέζι, ενώ πάνω του έχουμε τοποθετήσει ένα σώμα Α. Το τραπέζι ασκεί στο σώμα Σ κατακόρυφη δύναμη F=  80Ν, όπως στο σχήμα. Αν g=10m/s²:

1)   Να σχεδιάστε όλες τις δυνάμεις που ασκούνται πάνω στο σώμα Σ και να υπολογίστε το μέτρο της δύναμης που του ασκεί η Γη.

2)    Υπολογίστε την δύναμη Ν που ασκεί το σώμα Α στο σώμα Σ.

H συνέχεια σε pdf.

ή

3ος νόμος και ελεύθερη πτώση, ένα test.

Κατακόρυφη βολή και κάποια συμπεράσματα.

Από το έδαφος εκτοξεύεται για t₀=0, κατακόρυφα προς τα άνω, μια μικρή πέτρα με αρχική ταχύτητα υ₀=30m/s. Αν g=10m/s² ενώ η αντίσταση του αέρα είναι αμελητέα, ζητούνται:

1. Ο χρόνος ανόδου και το μέγιστο ύψος που θα φτάσει η πέτρα.
   
2. Ποιες χρονικές στιγμές η πέτρα βρίσκεται σε ύψος h=40m; Ποια η ταχύτητα της πέτρας στο ύψος αυτό;
   
3. Ποια χρονική στιγμή και με ποια ταχύτητα η πέτρα επιστρέφει στο έδαφος;
   

.

Απάντηση:

.

Κατακόρυφη βολή και γραφικές παραστάσεις.

.

Από ένα σημείο Ο σε ύψος Η=25m από το έδαφος εκτοξεύεται κατακόρυφα προς τα πάνω ένα σώμα με αρχική ταχύτητα υ₀=20m/s. Αν g=10m/s², ενώ η αντίσταση του αέρα θεωρείται αμελητέα, να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις σε συνάρτηση με το χρόνο:

1. Της μετατόπισης του σώματος και του ύψους του, μέχρι να πέσει στο έδαφος.
   
2. Της ταχύτητας του σώματος.
   

.

Απάντηση:

.

Κατακόρυφη βολή προς τα πάνω.

Από το έδαφος, για t=0, εκτοξεύουμε μια πέτρα (μέρες που ^,ναι…) κατακόρυφα προς τα πάνω με αρχική ταχύτητα υ₀. Αν στη διάρκεια του 3^ου δευτερολέπτου της κίνησής της η πέτρα πέσει κατά 5m, ζητούνται:

1. Η αρχική ταχύτητα της πέτρας.
   
2. Για πόσο χρόνο η πέτρα κινείται προς τα πάνω.
   
3. Το μέγιστο ύψος που θα φτάσει η πέτρα.
   
4. Το ύψος από το έδαφος που βρίσκεται η πέτρα τις χρονικές στιγμές t₃=1s και t₄=3s. Ποιες είναι αντίστοιχα οι τιμές της ταχύτητας τις στιγμές αυτές;
   
5. Να γίνουν τα διαγράμματα σε συνάρτηση με το χρόνο, της ταχύτητας της πέτρας και του ύψους, μέχρι τη στιγμή που θα ξαναπέσει στο έδαφος.
   

..........Δίνεται g=10m/s² ενώ η αντίσταση του αέρα θεωρείται αμελητέα.

.

Απάντηση:

.

Δύο σώματα σε Κατακόρυφη βολή.

Πώς εφαρμόζουμε τις εξισώσεις σε περίπτωση μιας κατακόρυφης βολής, όταν κινούνται δύο σώματα ταυτόχρονα. Ας το δούμε με ένα παράδειγμα. 

Προηγουμένως όμως θα πρότεινα να μελετηθεί η προηγούμενη ανάρτηση:

Κατακόρυφη Βολή.

--------------------------

Από σημείο Ο, σε ύψος ύψος Η=90m από το έδαφος, εκτοξεύεται κατακόρυφα προς τα κάτω ένα σώμα Α με αρχική ταχύτητα μέτρου υ₀₁= 5m/s, ενώ ταυτόχρονα από ένα σημείο Κ που βρίσκεται στην ίδια κατακόρυφη με το σημείο Ο  στο έδαφος, εκτοξεύεται ένα δεύτερο σώμα Β, κατακόρυφα προς τα πάνω, με αρχική ταχύτητα μέτρου υ₀₂=40m/s. Αν g=10m/s² ενώ αντίσταση του αέρα δεν υπάρχει, να βρεθεί το σημείο συνάντησης των δύο σωμάτων, καθώς και οι ταχύτητες των σωμάτων τη στιγμή της συνάντησης.

Για να λύσουμε το πρόβλημα, θα πρέπει να επιλέξουμε ένα σύστημα αναφοράς. Πού είναι η θέση y=0 του άξονα και ποια είναι η θετική κατεύθυνση; Πώς γράφουμε τις εξισώσεις;

Προφανώς το πρόβλημα μπορεί να επιλυθεί με οποιαδήποτε επιλογή θέσης και προσανατολισμού του άξονα. Ας δοκιμάσουμε δυο διαφορετικά ενδεχόμενα, που συνήθως χρησιμοποιούμε.

1.   Θέτουμε y=0 τη θέση εκτόξευσης του Α σώματος, το σημείο Ο και θετική την κατεύθυνση προς τα κάτω.

Η προς τα κάτω κατεύθυνση είναι θετική, οπότε και η επιτάχυνση των δύο σωμάτων είναι θετική, δηλαδή α₁=α₂=g και οι εξισώσεις για τα δύο κινητά είναι:

Για το Α:

υ₁=υ₀₁ + α₁·t  →  υ₁=υ₀₁ + g·t  →

υ₁=5 +10·t  (1)

και  Δy= υ₀₁·t + ½ α₁·t² →          y₁= υ₀₁·t + ½ g·t² →

y₁= 5·t + ½ 10·t²  (2)

Για το σώμα Β:

υ₂=υ₀₂ + α₁·t  →  υ₂= -υ₀₂ + g·t 

υ₂= -40 + 10·t  (3)

και  Δy= υ₀₂·t + ½ α₂·t² →          y₂ –y₀₂= - υ₀₂·t + ½ g·t² →

y₂= 90 - 40·t + ½ 10·t² (4)

Δείτε τη συνέχεια της λύσης από ΕΔΩ.

--------------------

2.   Η προς τα πάνω κατεύθυνση είναι θετική, οπότε και η επιτάχυνση των δύο σωμάτων είναι αρνητική, δηλαδή α₁=α₂= -g και οι εξισώσεις για τα δύο κινητά είναι: 

Για το Α:

υ₁=υ₀₁ + α₁·t  →  υ₁=- υ₀₁ - g·t  →

υ₁=-5 -10·t  (5)

και  Δy= υ₀₁·t + ½ α₁·t² →          y₁-y₀= υ₀₁·t + ½ g·t² , y₀₁=90m →

y₁= 90- 5·t - ½ 10·t²  (6)

Για το σώμα Β:

υ₂=υ₀₂ + α₁·t  →  υ₂= υ₀₂ - g·t 

υ₂= 40 - 10·t  (7)

και  Δy= υ₀₂·t + ½ α₂·t² →          y₂ =  υ₀₂·t - ½ g·t² →

y₂= 40·t - ½ 10·t² (8)

Δείτε τη συνέχεια της λύσης από ΕΔΩ.

.

Μπορείτε να κατεβάσετε το αρχείο σε pdf.