Όσο και αν απομακρυνθείς, θα σε φτάσω!

Ένα αυτοκίνητο Α είναι ακίνητο, στην άκρη ενός ευθύγραμμου δρόμου. Σε μια στιγμή (ας θεωρήσουμε t₀=0), περνά  δίπλα του ένα δεύτερο αυτοκίνητο Β, το οποίο κινείται με σταθερή ταχύτητα υ₂. Την ίδια στιγμή ο οδηγός του Α, θέτει σε κίνηση το αυτοκίνητό του με σταθερή επιτάχυνση α=1m/s², με αποτέλεσμα η απόσταση των δύο αυτοκινήτων να είναι d=72m τη χρονική στιγμή t₁=4s.

i) Να βρεθεί η ταχύτητα με την οποία κινείται το Β αυτοκίνητο.

ii) Ποια η απόσταση των δύο αυτοκινήτων τη στιγμή t₂ που έχουν ίσες ταχύτητες;

iii) Να βρεθεί η χρονική στιγμή t₃, όπου t₃>t₂,  κατά την οποία το Β αυτοκίνητο προηγείται κατά 150m του Α. Σε ποιες θέσεις βρίσκονται τη στιγμή αυτή τα δυο οχήματα;

iv) Αν τη στιγμή t₃ το Α αυτοκίνητο σταματά να επιταχύνεται, κινούμενο πλέον με σταθερή ταχύτητα, ποια χρονική στιγμή t₄, τα δυο αυτοκίνητα, θα βρεθούν το ένα δίπλα στο άλλο και σε πόση απόσταση από την αρχική θέση θα συμβεί αυτό;

v) Να κάνετε στο ίδιο διάγραμμα τις γραφικές παραστάσεις για τις θέσεις των δύο αυτοκινήτων  σε συνάρτηση με το χρόνο (x-t), μέχρι τη στιγμή t₄.

Απάντηση:

ή

  Όσο και αν απομακρυνθείς, θα σε φτάσω!

Δουλεύοντας με ένα διάγραμμα θέσης.

Ένα σώμα κινείται ευθύγραμμα και στο διπλανό διάγραμμα δίνεται η γραφική παράσταση της θέσης του, σε συνάρτηση με το χρόνο. Με διαφορετικά χρώματα, έχουν χαραχθεί τα τμήματα που αντιστοιχούν σε διαφορετικές κινήσεις. Στα χρονικά διαστήματα που η ταχύτητα μεταβάλλεται, η μεταβολή αυτή πραγματοποιείται με σταθερό ρυθμό.

i)  Να περιγράψετε τις κινήσεις που πραγματοποιεί το σώμα, στα διάφορα χρονικά διαστήματα. Για πόσο χρονικό διάστημα κινήθηκε συνολικά το σώμα;

ii) Να υπολογιστεί η ταχύτητα του σώματος τη στιγμή t₂=3s.

iii) Να βρεθεί η επιτάχυνση του σώματος, στα χρονικά διαστήματα όπου μεταβάλλεται η ταχύτητα.

iv) Να υπολογιστούν οι τιμές της θέσης β και γ τις χρονικές στιγμές 4s και 6s.

Απάντηση:

ή

	Δουλεύοντας με ένα διάγραμμα θέσης.

Δύο ευθύγραμμες κινήσεις και διαγράμματα.

Σε ευθύγραμμο δρόμο κινούνται δύο κινητά Α και Β. Κάποια στιγμή (t₀=0) τα δύο κινητά περνούν από την ίδια θέση Ο (έστω x=0) και στο διπλανό διάγραμμα φαίνονται οι ταχύτητές τους σε συνάρτηση με το χρόνο.

i)  Να υπολογίσετε τις επιταχύνσεις των δύο σωμάτων.

ii) Να γράψετε την εξίσωση θέσης (x-t) για κάθε κινητό.

iii) Πόσο απέχουν μεταξύ τους τα δύο κινητά τη στιγμή που έχουν ίσες ταχύτητες;

iv) Να βρεθεί η χρονική στιγμή που το Β κινητό σταματά, αν παύει να κινείται μόλις μηδενιστεί η ταχύτητά του.

v) Σε ποιο από τα παρακάτω σχήματα, έχουν σχεδιαστεί σωστά οι γραφικές παραστάσεις x-t για τα δυο σώματα, μέχρι τη στιγμή t΄=30s; Να δικαιολογήστε την επιλογή σας, αφού εξηγείστε γιατί απορρίπτετε τα υπόλοιπα.

Απάντηση:

ή

	Δύο ευθύγραμμες κινήσεις και διαγράμματα.

Θα υπάρξει ολίσθηση;

Ένα σώμα Α μάζας m αφήνεται να κινηθεί πάνω σε σανίδα μάζας Μ. Ο συντελεστής οριακής στατικής τριβής μεταξύ σώματος Α και σανίδας είναι μ=0,8∙εφφ, όπου φ η κλίση του λείου κεκλιμένου επιπέδου, ενώ το κεκλιμένο επίπεδο είναι λείο.

i) Στο πρώτο σχήμα η σανίδα συγκρατείται από εμάς και αφήνεται ταυτόχρονα με το σώμα Α.

ii) Στο δεύτερο σχήμα, η σανίδα ηρεμεί στο άκρο ελατηρίου.

Θα υπάρξει ολίσθηση του σώματος Α πάνω στη σανίδα, τη στιγμή που αφήνεται να κινηθεί και αν ναι, σε ποια περίπτωση;

Απάντηση:

ή

 Θα υπάρξει ολίσθηση;

Η ανάρτηση δεν απευθύνεται σε μαθητές.

Από φανάρι σε φανάρι.

Ένα αυτοκίνητο είναι σταματημένο στο φανάρι που είναι «κόκκινο». Τη στιγμή που ανάβει το «πράσινο», έστω t₀=0, το αυτοκίνητο μαρσάρει, οπότε αποκτά σταθερή επιτάχυνση με αποτέλεσμα τη χρονική στιγμή t₁=8s να έχει ταχύτητα υ₁=24m/s. Στη συνέχεια συνεχίζει με σταθερή ταχύτητα, μέχρι να φτάσει στο επόμενο «πράσινο» φανάρι, που απέχει s=240m από το προηγούμενο.

i) Να βρείτε την επιτάχυνση με την οποία κινήθηκε στο χρονικό διάστημα 0-t₁.

ii) Πόσο  απέχει από το πρώτο φανάρι (όπου θεωρούμε ότι  x_ο=0) το αυτοκίνητο, τη στιγμή που παύει να επιταχύνεται;

iii) Ποια στιγμή φτάνει το όχημα στο  δεύτερο φανάρι;

iv) Να κάνετε τις γραφικές παραστάσεις της ταχύτητας και της θέσης του κινητού σε συνάρτηση με το χρόνο, θεωρώντας x=0 τη θέση του πρώτου φαναριού.

v) *Αν το 2^ο φανάρι γίνεται πορτοκαλί τη στιγμή t΄=13s και το αυτοκίνητο φτάνει σε αυτό τη στιγμή αλλαγής του χρώματος, ενώ κινήθηκε αρχικά με την ίδια επιτάχυνση, όπως προηγούμενα, μέχρι να αποκτήσει μια ταχύτητα υ₂, με την οποία συνέχισε την κίνησή του, να υπολογιστεί το χρονικό διάστημα επιτάχυνσής του και η τελική του ταχύτητα.

*Ερώτημα μόνο για καλούς μαθητές.

Απάντηση:

ή

  Από φανάρι σε φανάρι.

Πληροφορίες από μερικά διαγράμματα.

1)  Σε ευθύγραμμο δρόμο κινούνται τρία σώματα Α, Β και Γ και στο σχήμα φαίνονται οι θέσεις τους σε συνάρτηση με το χρόνο.

Χαρακτηρίστε ως σωστές ή λανθασμένες τις παρακάτω προτάσεις, δίνοντας σύντομες εξηγήσεις.

i) Μεγαλύτερη μετατόπιση μέχρι τη στιγμή t₂ έχει το Α σώμα.

ii) Τα σώματα Α και Β μετατοπίζεται το ίδιο στο χρονικό διάστημα 0-t₁.

iii) Τα σώματα Α και Β μετατοπίζεται το ίδιο στο χρονικό διάστημα 0-t₂.

iv) Μέχρι τη στιγμή t₂ οι μετατοπίσεις των σωμάτων Β και Γ είναι ίσες.

iv) Τη στιγμή της συνάντησης των τριών σωμάτων, οι ταχύτητές τους είναι ίσες.

2)  Σε ευθύγραμμο δρόμο κινούνται δύο σφαίρες Α και Β  και στο σχήμα φαίνονται οι θέσεις τους σε συνάρτηση με το χρόνο.

i) Πάνω στο σχήμα να σχεδιάστε το διάνυσμα της ταχύτητας της σφαίρας Β.

ii) Στο σχήμα βλέπετε τις θέσεις των σφαιρών κάποια στιγμή t΄. Αυτή η χρονική στιγμή είναι πριν ή μετά τη στιγμή t₁;

iii) Να συγκρίνετε τα μέτρα των ταχυτήτων των δύο σφαιρών.

Δείτε τη συνέχεια….

ή

	Πληροφορίες από μερικά διαγράμματα.

Μελέτη ενός διαγράμματος επιτάχυνσης.

Ένα αρχικά ακίνητο σώμα, αρχίζει να κινείται ευθύγραμμα τη στιγμή t=0 και στο διάγραμμα δίνεται η επιτάχυνσή του, σε συνάρτηση με το χρόνο.

i)  Να περιγράψετε την κίνηση του σώματος στα διάφορα χρονικά διαστήματα, που εμφανίζονται στο διάγραμμα, θεωρώντας την προς τα δεξιά κατεύθυνση ως θετική.

ii) Ποια χρονική στιγμή στο χρονικό διάστημα από 0-3s το σώμα έχει την μέγιστη κατά μέτρο ταχύτητα;

iii) Να υπολογίσετε τη μεταβολή της ταχύτητας στο χρονικό διάστημα 0-2s.

iv) Να υπολογιστεί η ταχύτητα του σώματος τη στιγμή t₂=3s.

v) Ποια χρονική στιγμή το σώμα θα σταματήσει την προς τα δεξιά κίνησή του και θα αρχίσει να κινείται προς τα αριστερά; Να βρεθεί η ταχύτητά του τη στιγμή t΄=8,3s.

Απάντηση:

ή

	Μελέτη ενός διαγράμματος επιτάχυνσης.

Οι ταχύτητες και οι επιταχύνσεις.

Σε έναν ευθύγραμμο δρόμο κινούνται αντίθετα δύο αυτοκίνητα Α και Β. Τη στιγμή t₀=2s τα αυτοκίνητα έχουν ταχύτητες  υ₁=20m/s και υ₂=-6m/s, ενώ τη χρονική στιγμή t₁=5s οι ταχύτητες έχουν γίνει υ₁΄=5m/s και υ₂΄=-15m/s (θετική κατεύθυνση προς τα δεξιά). Οι ταχύτητες μεταβάλλονται με σταθερούς ρυθμούς (ομαλά).

i) Για το παραπάνω χρονικό διάστημα να υπολογιστούν:

α) Η μεταβολή της ταχύτητας κάθε αυτοκινήτου.

β) Οι επιταχύνσεις των αυτοκινήτων.

γ)  Να σχεδιάστε στον διπλανό πίνακα ένα διανυσματικό διάγραμμα (όπως παραπάνω), στο οποίο να εμφανίζονται για κάθε αυτοκίνητο, οι ταχύτητες, η μεταβολή της ταχύτητας και η επιτάχυνση. Τι κάνουν τα παραπάνω αυτοκίνητα, «επιταχύνονται» ή «επιβραδύνονται» και γιατί;

δ) Να υπολογιστεί η μεταβολή της ταχύτητας κάθε αυτοκινήτου στο χρονικό διάστημα από t₂=3,2s έως τη στιγμή t₃=4s.

ii) Να γράψετε τις εξισώσεις για τις ταχύτητες των αυτοκινήτων, σε συνάρτηση με το χρόνο (υ-t).

iii) Ποια χρονική στιγμή τα δύο αυτοκίνητα κινούνται με ίσες κατά μέτρο ταχύτητες;

Απάντηση:

ή

  Οι ταχύτητες και οι επιταχύνσεις.

Η μέση, η στιγμιαία ταχύτητα και η επιτάχυνση.

Ένα φύλλο εργασίας

Κατά μήκος ενός χάρακα κινείται μια μικρή σφαίρα και στο σχήμα φαίνονται μερικές θέσεις της. Το χρονικό διάστημα ανάμεσα σε δύο διαδοχικές θέσεις είναι 0,2s.

i)  Η ταχύτητα της σφαίρας παραμένει σταθερή ή όχι και γιατί;

ii) Με βάση την εικόνα να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα με τις χρονικές στιγμές και τις θέσεις της σφαίρας.

iii) Να υπολογίσετε τη μέση ταχύτητα στα χρονικά διαστήματα:

α) 0,4-1,2s,    β) 0,4-1s,   γ) 0,4- 0,8s,   δ) 0,4-0,6s.   ε) 0,2-0,6s,    στ) 0,-0,6s

iv) Τη στιγμή που η σφαίρα περνά από το σημείο Α έχει ταχύτητα (στιγμιαία ταχύτητα) με μέτρο περίπου ίσο με ………..

Η συνέχεια…

ή

	Η μέση, η στιγμιαία ταχύτητα και η επιτάχυνση.

Δυο ευθύγραμμες ομαλές κινήσεις.

Ένα παιδί κινείται με σταθερή ταχύτητα, σε ευθύγραμμο δρόμο και μια στιγμή t₀=0, περνά από ένα σημείο Α, ενώ τη στιγμή t₁=200s φτάνει στο σημείο Β, σε απόσταση (ΑΒ)=160m, όπου και γυρνάει αμέσως πίσω, με αποτέλεσμα να φτάσει μετά από 150s στο σημείο Γ, όπου (ΒΓ)=135m, κινούμενο επίσης με σταθερή ταχύτητα.

Α) Για τη μελέτη της κίνησης του παιδιού, ορίζουμε αρχή του άξονα x, τη θέση Α και θετική της προς τα δεξιά κατεύθυνση. Με βάση τον άξονα αυτό:

i) Ποιες οι θέσεις x₁, x₂ και x₃ του παιδιού στα σημεία Α, Β και Γ και ποια η τιμή της μετατόπισης στις διαδρομές Α→Β,  Β→Γ και Α→Γ.

ii) Να γίνει το διάγραμμα της θέσης του παιδιού σε συνάρτηση με το χρόνο (x=f(t)).

iii) Να υπολογιστεί η τιμή της ταχύτητας για τις δύο παραπάνω κινήσεις.

iv) Σε ποια περίπτωση το παιδί κινήθηκε με μεγαλύτερη ταχύτητα;

Β) Αν θεωρήσουμε αρχή του άξονα τη θέση Β και την προς τα αριστερά κατεύθυνση ως θετική, ποιες οι αντίστοιχες απαντήσεις στα παραπάνω ερωτήματα;

Απάντηση:

ή

 Δυο ευθύγραμμες ομαλές κινήσεις.

Η χρονική στιγμή, η θέση και η μετατόπιση.

Ένα φύλλο εργασίας.

Ένα παιδί κινείται σε έναν ευθύγραμμο δρόμο, δίπλα σε ένα περιφραγμένο οικόπεδο, όπου ανά 5m υπάρχει και μια κολόνα. Στο σχήμα, βλέπετε τρεις διαδοχικές εικόνες που εμφανίζουν τη θέση του παιδιού ανά 40s.

i)     Μπορείτε να απαντήσετε στις παρακάτω ερωτήσεις;

α) Ποια χρονική στιγμή ελήφθη η πάνω εικόνα και ποια στιγμή η μεσαία;

β) Ποια η χρονική διάρκεια της κίνησης του παιδιού ανάμεσα στις θέσεις της πρώτης και τρίτης εικόνας;

γ) Ποιες οι θέσεις του παιδιού στις δύο τελευταίες εικόνες;

Για να μπορέσουμε να περιγράψουμε την κίνηση του παιδιού, χρειαζόμαστε ένα χρονόμετρο και να ορίσουμε και έναν προσανατολισμένο άξονα x.

ii) Ο Αντώνης, μηδενίζει το χρονόμετρο τη στιγμή που το παιδί είναι στη θέση της πάνω εικόνας και παίρνει ως αρχή του άξονα, την αντίστοιχη θέση, θεωρώντας θετική την κατεύθυνση προς τα δεξιά. Με βάση τις επιλογές του, τι απαντήσεις πρέπει να δώσει στα ερωτήματα:

α) Σε ποιες χρονικές στιγμές αντιστοιχούν οι παραπάνω θέσεις του παιδιού;

β) Ποια η διάρκεια της κίνησης, μεταξύ πρώτης και δεύτερης εικόνας και ποια μεταξύ δεύτερη και τρίτης;

γ) Ποιες είναι οι θέσεις του παιδιού σε κάθε εικόνα;

δ) Ποιες οι μετατοπίσεις του παιδιού, μεταξύ πρώτης και δεύτερης εικόνας και ποια μεταξύ δεύτερης και τρίτης;

iii) Η Βασιλική, βιάστηκε να πατήσει το χρονόμετρο, με αποτέλεσμα όταν λαμβάνεται η 2^η εικόνα, αυτό  να  δείχνει 44s. Λαμβάνει δε ως αρχή του άξονα τη θέση του παιδιού στην μεσαία εικόνα και την προς τα δεξιά κατεύθυνση ως θετική. Με βάση αυτά, ποιες οι αντίστοιχες απαντήσεις στα προηγούμενα ερωτήματα;

iv) Ο Γιάννης καθυστέρησε να μηδενίσει το χρονόμετρο, με αποτέλεσμα όταν φτάνει το παιδί στην θέση που δείχνει η 3^η εικόνα να δείχνει 75s. Λαμβάνει δε ως αρχή του άξονα τη θέση του παιδιού στην 3^η  εικόνα και την προς τα θετικά κατεύθυνση ως θετική. Με βάση αυτά, ποιες οι αντίστοιχες απαντήσεις στα προηγούμενα ερωτήματα;

v) Με βάση τις προηγούμενες συμβάσεις και τις απαντήσεις των τριών μαθητών:

α) Ποιων φυσικών μεγεθών οι τιμές, εξαρτώνται από τις επιλογές κάθε μαθητή;

β) Οι τιμές ποιων φυσικών μεγεθών είναι ανεξάρτητες και ίδιες για τους τρεις μαθητές;

Απάντηση:

ή

 Η χρονική στιγμή, η θέση και η μετατόπιση.

Οι θέσεις και οι μετατοπίσεις σε μια πλατεία.

Στο σχήμα βλέπετε μια τετράγωνη πλατεία ΑΒΓΔ πλευράς 100m και ένα παιδί στο μέσον Μ της ΒΓ. Για να περιγράψουμε την κίνηση του παιδιού χρησιμοποιούμε ένα σύστημα αξόνων xy με αρχή την κορυφή Α.

i)  Ποια είναι η αρχική θέση του παιδιού;

ii)  Το παιδί αρχίζει να κινείται κάποια στιγμή t₀=0, προς τα δεξιά, φτάνει στην κορυφή Γ και επιστρέφοντας, μετά από λίγο, τη στιγμή t₁ φτάνει στην κορυφή Β.

α) Να σχεδιάστε στο σχήμα τη μετατόπιση του παιδιού στο χρονικό διάστημα t₀-t₁ και να υπολογιστεί η τιμή της.

β) Να υπολογιστεί το διάστημα που διανύει το παιδί, στο παραπάνω χρονικό διάστημα.

iii) Τη στιγμή t₀=0, το παιδί αρχίζει να περπατά προς το Γ, αλλά δεν επιστρέφει και συνεχίζοντας φτάνει στην κορυφή Δ τη χρονική στιγμή t₂. Για το χρονικό διάστημα t₀-t₂:

α) Να σχεδιάστε στο σχήμα τη μετατόπιση του παιδιού στο χρονικό διάστημα t₀-t₂.

β) Να προσδιοριστεί ξανά η μετατόπιση του παιδιού και το διάστημα που διανύει, στο παραπάνω χρονικό διάστημα.

Απάντηση:

ή

 Οι θέσεις και οι μετατοπίσεις σε μια πλατεία.